Как прибавить число к дроби в уравнении

Сложение дробей: теория и практика

О чем эта статья:

Понятие дроби

Дробь — одна из форм записи частного чисел a и b, представленная в виде a/b. Существует два формата записи:

  • обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 − 0,2)/15.

Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x − y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной называют такую дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1/4.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.

Свойства сложения

  • От перестановки мест слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a.
  • Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа: (a + b) + c = a + (b + c).
  • Если к числу прибавить ноль, получится само число: a + 0 = 0 + a = a
  • При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, результат от этого не изменится.

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы получить сумму двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:

1. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (далее — НОК) для определения единого делителя.

Для этого записываем в столбик числа, которые в произведении дают значения знаменателей складываемых дробей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 × 2 × 3 × 5 = 90

2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

Полученные числа записываем справа сверху над числителем.

3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.

4. Проверим полученный результат:

  • если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
  • если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.

Еще раз ход решения одной строкой:

Сложение смешанных чисел

Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

1. Сложить целые части.

2. Сложить дробные части.

Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.

3. Суммируем полученные результаты.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, тренируйтесь решать примеры на сложение дробей как можно чаще.

Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры

Данная статья начинает изучение действий с алгебраическими дробями: рассмотрим подробно такие действия как сложение и вычитание алгебраических дробей. Разберем схему сложения и вычитания алгебраических дробей как с одинаковыми знаменателями, так и с разными. Изучим, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как произвести их вычитание. На конкретных примерах поясним каждый шаг поиска решения задач.

Действия сложения и вычитания при одинаковых знаменателях

Схема сложения обыкновенных дробей применима и для алгебраических. Мы знаем, что при сложении или вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть их числители, а знаменатель остается исходным.

К примеру: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 и 5 11 — 4 11 = 5 — 4 11 = 1 11 .

Соответственно аналогичным образом записывается правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители исходных дробей, а знаменатель записать без изменений.

Данное правило дает возможность сделать вывод, что результат сложения или вычитания алгебраических дробей — новая алгебраическая дробь (в частном случае: многочлен, одночлен или число).

Укажем пример применения сформулированного правила.

Заданы алгебраические дроби: x 2 + 2 · x · y — 5 x 2 · y — 2 и 3 — x · y x 2 · y — 2 . Необходимо осуществить их сложение.

Решение

Исходные дроби содержат одинаковые знаменатели. Согласно правилу, выполним сложение числителей заданных дробей, а знаменатель оставим неизменным.

Сложив многочлены, являющиеся числителями исходных дробей, получим: x 2 + 2 · x · y − 5 + 3 − x · y = x 2 + ( 2 · x · y − x · y ) − 5 + 3 = x 2 + x · y − 2 .

Тогда искомая сумма будет записана как: x 2 + x · y — 2 x 2 · y — 2 .

В практике, как во многих случаях, решение приводится цепочкой равенств, наглядно показывающей все этапы решения:

x 2 + 2 · x · y — 5 x 2 · y — 2 + 3 — x · y x 2 · y — 2 = x 2 + 2 · x · y — 5 + 3 — x · y x 2 · y — 2 = x 2 + x · y — 2 x 2 · y — 2

Ответ: x 2 + 2 · x · y — 5 x 2 · y — 2 + 3 — x · y x 2 · y — 2 = x 2 + x · y — 2 x 2 · y — 2 .

Результатом сложения или вычитания может стать сократимая дробь, в этом случае оптимально ее сократить.

Необходимо вычесть из алгебраической дроби x x 2 — 4 · y 2 дробь 2 · y x 2 — 4 · y 2 .

Решение

Знаменатели исходных дробей равны. Произведем действия с числителями, а именно: вычтем из числителя первой дроби числитель второй, после чего запишем результат, оставляя знаменатель неизменным:

x x 2 — 4 · y 2 — 2 · y x 2 — 4 · y 2 = x — 2 · y x 2 — 4 · y 2

Мы видим, что полученная дробь – сократимая. Осуществим ее сокращение, преобразовав знаменатель при помощи формулы разности квадратов:

x — 2 · y x 2 — 4 · y 2 = x — 2 · y ( x — 2 · y ) · ( x + 2 · y ) = 1 x + 2 · y

Ответ: x x 2 — 4 · y 2 — 2 · y x 2 — 4 · y 2 = 1 x + 2 · y .

По такому же принципу складываются или вычитаются три и более алгебраических дробей при одинаковых знаменателях. К примеру:

1 x 5 + 2 · x 3 — 1 + 3 · x — x 4 x 5 + 2 · x 3 — 1 — x 2 x 5 + 2 · x 3 — 1 — 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 — 1 = 1 + 3 · x — x 4 — x 2 — 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 — 1

Действия сложения и вычитания при разных знаменателях

Вновь обратимся к схеме действий с обыкновенными дробями: чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

К примеру, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 или 1 2 — 3 7 = 7 14 — 6 14 = 1 14 .

Так же по аналогии сформулируем правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями, необходимо:

  • исходные дроби привести к общему знаменателю;
  • выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Очевидно, что ключевым здесь будет навык приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Разберем подробнее.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо осуществить тождественное преобразование заданных дробей, в результате которого знаменатели исходных дробей становятся одинаковыми. Здесь оптимально действовать по следующему алгоритму приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:

  • сначала определяем общий знаменатель алгебраических дробей;
  • затем находим дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели исходных дробей;
  • последним действием числители и знаменатели заданных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.

Пример 3

Заданы алгебраические дроби: a + 2 2 · a 3 — 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 — 6 · a и a + 1 4 · a 5 — 16 · a 3 . Необходимо привести их к общему знаменателю.

Решение

Действуем по указанному выше алгоритму. Определим общий знаменатель исходных дробей. С этой целью разложим знаменатели заданных дробей на множители: 2 · a 3 − 4 · a 2 = 2 · a 2 · ( a − 2 ) , 3 · a 2 − 6 · a = 3 · a · ( a − 2 ) и 4 · a 5 − 16 · a 3 = 4 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) . Отсюда можем записать общий знаменатель: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) .

Теперь нам предстоит найти дополнительные множители. Разделим, согласно алгоритму, найденный общий знаменатель на знаменатели исходных дробей:

  • для первой дроби: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) : ( 2 · a 2 · ( a − 2 ) ) = 6 · a · ( a + 2 ) ;
  • для второй дроби: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) : ( 3 · a · ( a − 2 ) ) = 4 · a 2 · ( a + 2 );
  • для третьей дроби: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) : ( 4 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) ) = 3 .

Следующий шаг — умножение числителей и знаменателей заданных дробей на найденные дополнительные множители:

a + 2 2 · a 3 — 4 · a 2 = ( a + 2 ) · 6 · a · ( a + 2 ) ( 2 · a 3 — 4 · a 2 ) · 6 · a · ( a + 2 ) = 6 · a · ( a + 2 ) 2 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) a + 3 3 · a 2 — 6 · a = ( a + 3 ) · 4 · a 2 · ( a + 2 ) 3 · a 2 — 6 · a · 4 · a 2 · ( a + 2 ) = 4 · a 2 · ( a + 3 ) · ( a + 2 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) a + 1 4 · a 5 — 16 · a 3 = ( a + 1 ) · 3 ( 4 · a 5 — 16 · a 3 ) · 3 = 3 · ( a + 1 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 )

Ответ: a + 2 2 · a 3 — 4 · a 2 = 6 · a · ( a + 2 ) 2 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) ; a + 3 3 · a 2 — 6 · a = 4 · a 2 · ( a + 3 ) · ( a + 2 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) ; a + 1 4 · a 5 — 16 · a 3 = 3 · ( a + 1 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) .

Так, мы привели исходные дроби к общему знаменателю. В случае необходимости далее можно преобразовать полученный результат в вид алгебраических дробей, осуществив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.

Уточним также такой момент: найденный общий знаменатель оптимально оставлять в виде произведения на случай необходимости сократить конечную дробь.

Мы рассмотрели подробно схему приведения исходных алгебраических дробей к общему знаменателю, теперь можем приступить к разбору примеров на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Заданы алгебраические дроби: 1 — 2 · x x 2 + x и 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 . Необходимо осуществить действие их сложения.

Решение

Исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому первым действием приведем их к общему знаменателю. Раскладываем знаменатели на множители: x 2 + x = x · ( x + 1 ) , а x 2 + 3 · x + 2 = ( x + 1 ) · ( x + 2 ) , т.к. корни квадратного трехчлена x 2 + 3 · x + 2 это числа: — 1 и — 2 . Определяем общий знаменатель: x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) , тогда дополнительные множители будут: x + 2 и – x для первой и второй дробей соответственно.

Таким образом: 1 — 2 · x x 2 + x = 1 — 2 · x x · ( x + 1 ) = ( 1 — 2 · x ) · ( x + 2 ) x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = x + 2 — 2 · x 2 — 4 · x x · ( x + 1 ) · x + 2 = 2 — 2 · x 2 — 3 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) и 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 2 · x + 5 ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · x + 5 · x ( x + 1 ) · ( x + 2 ) · x = 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 )

Теперь сложим дроби, которые мы привели к общему знаменателю:

2 — 2 · x 2 — 3 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = = 2 — 2 · x 2 — 3 · x + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · 2 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 )

Полученную дробь возможно сократить на общий множитель x + 1 :

2 + 2 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · ( x + 1 ) x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 x · ( x + 2 )

И, напоследок, полученный результат запишем в виде алгебраической дроби, заменив произведение в знаменателе многочленом:

2 x · ( x + 2 ) = 2 x 2 + 2 · x

Запишем ход решения кратко в виде цепочки равенств:

1 — 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 1 — 2 · x x · ( x + 1 ) + 2 · x + 5 ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = = 1 — 2 · x · ( x + 2 ) x · x + 1 · x + 2 + 2 · x + 5 · x ( x + 1 ) · ( x + 2 ) · x = 2 — 2 · x 2 — 3 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = = 2 — 2 · x 2 — 3 · x + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · x + 1 x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 x · ( x + 2 ) = 2 x 2 + 2 · x

Ответ: 1 — 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 2 x 2 + 2 · x

Обратите внимание еще на такую деталь: перед тем, как алгебраические дроби сложить или вычесть, при наличии возможности их желательно преобразовать с целью упрощения.

Необходимо осуществить вычитание дробей: 2 1 1 3 · x — 2 21 и 3 · x — 1 1 7 — 2 · x .

Решение

Преобразуем исходные алгебраические дроби для упрощения дальнейшего решения. Вынесем за скобки числовые коэффициенты переменных в знаменателе:

2 1 1 3 · x — 2 21 = 2 4 3 · x — 2 21 = 2 4 3 · x — 1 14 и 3 · x — 1 1 7 — 2 · x = 3 · x — 1 — 2 · x — 1 14

Данное преобразование однозначно дало нам пользу: мы явно видим наличие общего множителя.

Избавимся вообще от числовых коэффициентов в знаменателях. Для этого используем основное свойство алгебраических дробей: числитель и знаменатель первой дроби умножим на 3 4 , а второй на — 1 2 , тогда получим:

2 4 3 · x — 1 14 = 3 4 · 2 3 4 · 4 3 · x — 1 14 = 3 2 x — 1 14 и 3 · x — 1 — 2 · x — 1 14 = — 1 2 · 3 · x — 1 — 1 2 · — 2 · x — 1 14 = — 3 2 · x + 1 2 x — 1 14 .

Совершим действие, которое нам позволит избавиться от дробных коэффициентов: умножим полученные дроби на 14 :

3 2 x — 1 14 = 14 · 3 2 14 · x — 1 14 = 21 14 · x — 1 и — 3 2 · x + 1 2 x — 1 14 = 14 · — 3 2 · x + 1 2 x — 1 14 = — 21 · x + 7 14 · x — 1 .

Наконец, выполним требуемое в условии задачи действие – вычитание:

2 1 1 3 · x — 2 21 — 3 · x — 1 1 7 — 2 · x = 21 14 · x — 1 — — 21 · x + 7 14 · x — 1 = 21 — — 21 · x + 7 14 · x — 1 = 21 · x + 14 14 · x — 1

Ответ: 2 1 1 3 · x — 2 21 — 3 · x — 1 1 7 — 2 · x = 21 · x + 14 14 · x — 1 .

Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена

Данное действие сводится также к сложению или вычитанию алгебраических дробей: необходимо представить исходный многочлен как дробь со знаменателем 1 .

Необходимо произвести сложение многочлена x 2 − 3 с алгебраической дробью 3 · x x + 2 .

Решение

Запишем многочлен как алгебраическую дробь со знаменателем 1 : x 2 — 3 1

Теперь можем выполнить сложение по правилу сложения дробей с разными знаменателями:

x 2 — 3 + 3 · x x + 2 = x 2 — 3 1 + 3 · x x + 2 = x 2 — 3 · ( x + 2 ) 1 · x + 2 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 — 3 · x — 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 — 3 · x — 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 — 6 x + 2

Ответ: x 2 — 3 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 — 6 x + 2 .

Дроби. Сложение дробей.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтоб сложить 2 дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатели оставить без изменений. Сложение дробей , примеры :

Общая формула для сложения обыкновенных дробей и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Обратите внимание! Проверьте нельзя ли сократить дробь, которую вы получили, записывая ответ.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Правила сложения дробей с разными знаменателями:

  • приводим дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого находим наименьшееобщее кратное (НОК) знаменателей;
  • складываем числители дробей, а знаменатели оставляем не меняя;
  • сокращаем дробь, которую получили;
  • если получили неправильная дробь – преобразовываем неправильную дробь в смешанную дробь.

Примеры сложения дробей с разными знаменателями:

Сложение смешанных чисел (смешанных дробей).

Правила сложения смешанных дробей:

  • приводим дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ);
  • отдельно складываем целые части и отдельно дробные части, складываем результаты;
  • если при сложении дробных частей получили неправильную дробь, выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем ее к полученной целой части;
  • сокращаем полученную дробь.

Пример сложения смешанной дроби :

Сложение десятичных дробей.

При сложении десятичных дробей процесс записывают «столбиком» (как обычное умножение столбиком), так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Запятые обязательно выравниваем чётко друг под другом.

Правила сложения десятичных дробей:

1. Если нужно, уравниваем количество знаков после запятой. Для этого добавляем нули к необходимой дроби.

2. Записываем дроби так, чтобы запятые находились друг под другом.

3. Складываем дроби, не обращая внимания на запятую.

4. Ставим запятую в сумме под запятыми, дробей, которые складываем.

Обратите внимание! Когда у заданных десятичных дробей разное количество знаков (цифр) после запятой, то к дроби, у которой меньше десятичных знаков приписываем нужное количество нулей, для уравнения в дробях число знаков после запятой.

Разберёмся на примере. Найти сумму десятичных дробей:

Уравниваем число знаков после запятой в десятичных дробях. Дописываем 2 нуля справа к десятичной дроби 13,7 .

Если сложение десятичных дробей вы освоили достаточно хорошо, то недостающие нули можно дописывать в уме.


источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/slozhenie-i-vychitanie-algebraicheskih-drobej/

http://www.calc.ru/1482.html