Как решить уравнение по математике с дробями

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

    Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
    Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

    Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

    Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

    Например, как решить дробное уравнение:
    x/5+4=9
    Умножаем обе части на 5. Получаем:
    х+20=45
    x=45-20=25

    Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

    Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

    Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

    • значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
    • нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

    Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

    Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

    Например, требуется решить дробное уравнение:

    Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

    Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

    И решаем обычное уравнение

    5x – 2х = 1
    3x = 1
    х = 1/3

    Решим уравнение посложнее:

    Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

    Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

    Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

    Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

    Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

    Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

    х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

    Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

    Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.

    Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

    Дробно-рациональные уравнения

    Что такое дробно-рациональные уравнения

    Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

    при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

    Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

    9 x 2 — 1 3 x = 0

    1 2 x + x x + 1 = 1 2

    6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

    Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

    Как решаются дробно-рациональные уравнения

    В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

    Алгоритм действий при стандартном способе решения:

    1. Выписать и определить ОДЗ.
    2. Найти общий знаменатель для дробей.
    3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
    4. Записать уравнение со скобками.
    5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
    6. Найти корни полученного уравнения.
    7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
    8. Записать ответ.

    Пример 1

    Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

    x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

    Начать следует с области допустимых значений:

    x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

    Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

    x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

    В результате общим знаменателем дробей является:

    Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

    x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

    x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

    После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

    x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

    x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

    Осталось решить квадратное уравнение:

    Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

    Примеры задач с ответами для 9 класса

    Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

    Определим область допустимых значений:

    О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2

    x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

    D = 49 — 4 · 10 = 9

    x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

    x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

    Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

    a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

    x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —

    — ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

    x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

    2 x 2 + 9 x — 5 = 0

    Потребуется решить квадратное уравнение:

    2 x 2 + 9 x — 5 = 0

    Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

    Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

    4 x — 2 — 3 x + 4 = 1

    В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

    4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

    — x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

    Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

    ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

    Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

    — x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

    Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

    Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

    Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

    x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x

    На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

    x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0

    x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0

    x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0

    — x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0

    Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

    — x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

    Корни квадратного уравнения:

    x 1 = — 4 ; x 2 = 2

    Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

    Найти корни уравнения:

    x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2

    Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

    x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0

    x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0

    x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0

    0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0

    Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

    Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

    Ответ: х — любое число, за исключением 3.

    Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

    5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4

    На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

    5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

    5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

    5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

    2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

    ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

    Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

    Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

    Ответ: корни отсутствуют

    Нужно найти корни уравнения:

    x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

    Начнем с определения ОДЗ:

    — 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

    При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

    x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )

    ( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )

    ( x — 3 ) x + x = x + 5

    Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

    x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0

    Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

    x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3

    В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

    Второе значение не соответствует области допустимых значений.


    источники:

    http://reshit.ru/Kak-reshat-uravneniya-s-drobyami

    http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/9/drobnoraczionalnye-uravneniya