Линейное неопределенное уравнение с частным решением

Неопределенные уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения

При изучении уравнений первой степени мы уже видели, что если число уравнений меньше числа неизвестных, то такая система имеет бесчисленное множество решений. Такие уравнения называются неопределёнными.

Наиболее часто в практике встречается случай одного уравнения с двумя неизвестными. Общий вид такого уравнения будет:
αx+by=c,
где x и у—неизвестные, а, b и с—данные коэффициенты.

Часто условия задачи бывают таковы, что правильный ответ на вопрос, поставленный в задаче, дают только целые значения, а иногда только целые и притом положительные значения.

Задача:

Разложить число 118 на такие два числа, из которых одно делилось бы на 11, а другое на 17.

Обозначая одно число через Их, а другое через 17у, мы получим уравнение:
11x+17y=118.

Так как в задаче ничего не сказано о знаке чисел, на которые нужно разложить число 118, то в данном случае мы можем считать ответом на задачу и отрицательные решения. Так, условию задачи удовлетворяют числа 33 и 85 (при х=3 и у=5), но также удовлетворяют и числа 220 и —102 (при х=20 и у=—6).

Задача:

Для упаковки самоваров имеются ящики, из которых в одни укладываются 4 самовара, в другие 7. Сколько нужно взять тех или других ящиков, чтобы упаковать 41 самовар?

Обозначив число малых ящиков через х, а число больших через у, будем иметь уравнение:
4x-+7y=41.

Очевидно, что по условию задачи здесь пригодны только целые и притом положительные решения. Такое решение данное уравнение допускает лишь одно, именно: x=5, у=3.

Таким образом, необходимо уметь решать неопределённые уравнения в целых числах, а также в целых и положительных числах.

Признак невозможности решения уравнения в целых числах

Если среди коэффициентов а, b и с имеются дробные, то мы можем привести все коэффициенты к одному знаменателю и затем его отбросить. Тогда все коэффициенты будут целыми числами.

Далее, если а, b и с имеют какой-либо общий множитель, то на него можно сократить обе части уравнения.

Итак, мы будем предполагать, что коэффициенты a, b и с —числа целые, не имеющие общего множителя.

Предположим теперь, что а и b имеют общим множителем некоторое целое число, отличное от 1. Пусть, например,
a=ma₁, b=mb₁.

Разделив все его члены на m, получим:

При целых значениях х и у левая часть уравнения представляет собой целое число, правая же часть — дробь, так как с, по предположению, не делится на m. Такое равенство невозможно. Следовательно:
Если коэффициенты при неизвестных неопределённого уравнения имеют общий множитель, которого не имеет свободный член, то уравнение не может иметь целых решений.

Поэтому во всех дальнейших рассуждениях мы будем предполагать числа а и b взаимно простыми.

Признак невозможности решения уравнения в положительных числах

Пусть в уравнении ax+by=c коэффициенты а и b положительны, а свободный член с — отрицателен. Тогда при всяких положительных значениях х и у левая часть уравнения будет положительной, а правая останется отрицательной. Такое равенство невозможно.

Если коэффициенты а и b отрицательны, а с — положительно, то, умножив все члены уравнения на —1, мы сведём этот случай к предыдущему. Итак:
Если коэффициенты при неизвестных неопределённого уравнения имеют знаки, противоположные знаку свободного члена, то уравнение не имеет положительных решений.

Общая формула корней неопределённого уравнения

Предположим, что каким-либо способом (например, путём непосредственных проб) мы нашли одно целочисленное решение неопределённого уравнения:
ax+by=с.

Пусть это решение будет х=а и y=β. Подставляя значение x и у в данное уравнение, получим тождество:
a a+bβ =c.

Вычитая почленно это тождество из данного уравнения, получим:
α(x-α)+b(y-β)=0,
откуда:
ax=aa — b(y—β), или

Для того чтобы x было целым числом, необходимо и достаточно, чтобы выражение было целым числом (так как а—число
целое). Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы выражение b(y-β) нацело делилось на а. Но, по предположению, b — число взаимно простое с а, следовательно, необходимо (и достаточно), чтобы разность у—β нацело делилась на а. Обозначив целое частное от деления у— β на а через t (оно может быть и положительным и отрицательным), получим:
откуда y=β+at.

Подставляя в формулу для х число t вместо дроби , получим:
x = a-bt.

Таким образом, мы имеем для корней неопределённого уравнения формулы:
x = a-bt, y=β+at.

Давая в этих формулах t произвольные целые значения, положительные и отрицательные, мы получим бесчисленное множество целых решений данного неопределённого уравнения. В частности, при t=0 получим решение х = а; y=β, найденное нами уже ранее.

Присматриваясь к найденным формулам, легко заметить, что они составлены по следующему правилу:

1. Первым членом формулы является найденное частное значение данного неизвестного.
2. Вторым членом формул является произвольное целое число t, умноженное на коэффициент данного уравнения, причём в формуле для x берётся коэффициент при у в данном уравнении, а в формуле для у берётся коэффициент при х.
3. Один из коэффициентов берётся с обратным знаком.

Нетрудно видеть, что совершенно безразлично, который из коэффициентов мы берём с тем же знаком, с каким он стоит в уравнении и который берём с обратным знаком. В самом деле, формулы:
x=a-bt, y=β+at и x=a+bt, y=β -at
будут давать одни и те же решения; только те решения, которые одни формулы дают при положительных значениях t, другие будут давать при равных по абсолютной величине отрицательных значениях t.

Пример:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что уравнение удовлетворяется значениями х=2 и у=4. Тогда все остальные решения найдутся из формул:
x=2+5t, у=4—3t, или х=2—5t, y=4+3t.

Давая в этих формулах t произвольные целые значения, будем получать различные целочисленные решения данного уравнения. Например, взяв первые формулы, будем иметь:

Если бы мы взяли вторые формулы, то те же решения получили бы, давая t последовательно значения: 0; —1; —2; —3; 1; 2 и т. д.

Таким образом, задача решения в целых числах неопределенного уравнения сводится к нахождению какого-либо одного решения.

Способ подстановки

Для нахождения одного решения неопределённого уравнения можно пользоваться следующим способом. Пусть дано уравнение:
ах+by=с.

Определим из него одно из неизвестных в зависимости от другого (лучше взять то, у которого коэффициент меньше). Пусть, например, a Частный вид неопределённого уравнения

Неопределённое уравнение легко решается в общем виде, когда один из коэффициентов при неизвестных равен единице. Пусть, например, равен единице коэффициент при х. Будем иметь:
x+by=c.
Определим х:
x=c-by.

Очевидно, что любому целому значению у будет соответствовать целое же значение х.

Пример:

Дано уравнение: 5x+y=18.
Находим:
у = 18—5х.
Давая x произвольные целые значения, будем соответственно получать целые значения для у:

Общее решение неопределённого уравнения

Покажем на примере способ решения неопределённого уравнения с любыми коэффициентами. Пусть дано уравнение:
23x+53y=109.

Определим из этого уравнения то неизвестное, у которого коэффициент меньше, в данном случае х:

или, исключив целую часть:

Для того чтобы x было целым при у целом, необходимо и достаточно, чтобы выражение было каким-нибудь целым числом. Обозначив последнее через t, будем иметь:
, или 17—7y=23t, 23t+7y=17

Если мы найдём для у и t такие целые значения, которые удовлетворяют уравнению , или, что то же, уравнению:
23t+7y=17,
то тем самым мы найдём соответствующие целые значения для х, и наша задача будет решена. Таким образом, решение данного уравнения мы свели к решению другого, более простого уравнения, у которого коэффициенты меньше, чем у данного.

По отношению к новому уравнению поступаем таким же образом. Определяем из него у:

Для того чтобы у было целым, необходимо и достаточно, чтобы было целым числом. Обозначив это число через t₁, будем иметь:
, или 7t₁+2t=3.

При целых t и t₁, удовлетворяющих последнему уравнению, мы получим соответственно целые значения для х и у, удовлетворяющие данному уравнению. Следовательно, наша задача свелась к решению последнего уравнения, у которого коэффициенты ещё меньше. Поступаем с ним так же, как и прежде:

Приравняв выражение целому числу t₂, получим:
, или 2t₂+t₁=1.

Мы получили уравнение, в котором коэффициент при одном из неизвестных равен единице, а такие уравнения решать мы уже умеем. Решив его, получим:
t₁=1-2t₂.

Давая в этом уравнении произвольные целые значения t₂, будем получать целые значения для t₁. Подставляя найденные целые значения t₁ и t₂ в выражение для t:

получим соответствующие целые значения для t. Подставляя соответствующие пары значений t и t₁ в выражение для у:

получим соответствующие целые значения для у. Наконец, делая подстановку найденных значений для у и t в выражение для х:

получим соответствующие целые значения для х.

Можно, однако, прямо выразить х и у в зависимости от t₂. Для этого подставим в выражение для t вместо t₁ его выражение через t₂:
t=1-3t₂+t₂=1-3 (1—2t₂)+t₂ ,
или
t=-2+7t₂ .

Подставим теперь в выражение для у вместо t и t₁ их выражения через t₂:
y=2-3t+t₁=2-3(-2+7t₂) + (1- 2t₂),
или
y=9-23t₂.

Наконец, подставляя найденные значения у и t в выражение для х, получим:
x=4-2y+t=4-2(9-23t₂)+(-2+7t₂),
или
x=- 16+53t₂ .

Таким образом, мы получим для х и у формулы:
x= — 16+53t₂, y=9-23t₂.

Давая в них произвольные целые значения для t₂, как положительные, так и отрицательные, будем получать бесчисленное множество решений данного уравнения; некоторые из них помещены в следующей таблице:

Рассматривая операции, которые производились над коэффициентами данного и следующих уравнений, можно заметить такую последовательность:

1. Больший коэффициент данного уравнения 53 делили на меньший 23; получили частное 2 и остаток 7.
2. Меньший коэффициент данного уравнения 23 делили на остаток 7; получили частное 3 и второй остаток 2.
3. Первый остаток 7 делили на второй остаток 2; получили частное 3 и третий остаток 1.

Другими словами, мы поступали точно так, как если бы находили общий наибольший делитель коэффициентов данного уравнения.

Мы знаем, что два взаимно простых числа имеют общим наибольшим делителем единицу. А так как в неопределённом уравнении мы всегда предполагаем коэффициенты при неизвестных взаимно простыми, то производя над уравнением указанные выше операции, мы всегда придём к такому уравнению, у которого коэффициент при одном из неизвестных равен единице. Тем самым мы находим решения и данного уравнения. Отсюда следует:

Если коэффициенты при неизвестных неопределённого уравнения-числа взаимно простые, то уравнение всегда имеет целые решения.

Упрощение решения уравнения. Иногда при решении неопределённого уравнения можно внести некоторые упрощения, позволяющие быстрее прийти к решению.

1. В случае, когда один из коэффициентов при неизвестных и свободный член имеют общий множитель, то на него можно сократить обе части уравнения, если надлежащим образом ввести новое неизвестное.

Пример:

Коэффициент 6 и свободный член имеют общим множителем 3. Следовательно, и член 5у должен делиться на 3, а так как 5 не делится на 3, то у должен быть кратным трём. Полагая у=3t, где t— целое число, будем иметь:
6x-15t=21,
или, по сокращении на 3:
2x-5t =7.

Решаем последнее уравнение:

Подставляя найденное значение в выражения, полученные для х и у, будем иметь:
x=3+2(-1+2t₁)+t₁ =1+5t₁;
y=3(-1+2t₁) = -3+6t₁ .

Пример:

Дано уравнение: 9x+14y=105.
Полагая у=3t и сокращая обе части уравнения на 3, получим:
3x+14t=35.

Полагая в этом уравнении x=7t₁ и сокращая обе части уравнения на 7, получим:
3t₁ +2t=5.

Решаем последнее уравнение:

Произведя последовательные подстановки, получим:
t=2-(1-2t₂) + t₂ = 1+3t₂;
x=7t₁=7(1-2t₂)=7-14t₂ ;
y=3t=3(1+3t₂) = 3+9t₂ .

2. Если в приравниваемом целому числу выражении члены, находящиеся в числителе, имеют общий множитель, то решение уравнения можно упростить.

Пример:

Дано уравнение: 12x+17y=41.
Решаем его относительно х:

Для того чтобы выражение было целым числом, необходимо и достаточно, чтобы было целым числом.

Приравнивая это выражение целому числу t, получим:

Соответственно получаем для х:
x=3-(1-12t)+5t=2+17t

3. Если при выделении целой части остаток будет более половины делителя, то удобно ввести отрицательный остаток.

Пример:

Дано уравнение: 11х—20y=49.
Решим его относительно х:

Произведя подстановки, получим:
y=2-5(1-2t₁)+t₁ = -3+11t₁;
x=4+2(-3+ 11t₁)+(1-2t₁) = -1+20t₁.

Если бы решали данное уравнение обычным способом, то получили бы для х:

и следующее уравнение было бы:

Это уравнение сложнее уравнения, полученного нами при помощи введения отрицательного остатка:
11t+2y=5.

Пример:

Дано уравнение: 15x+28y=59.
Решаем уравнение относительно х, вводя отрицательные остатки:

Попробовав решить приведённые в примерах уравнения обычным путём, легко убедимся, что без применения указанных упрощений все они потребовали бы для решения большего числа операций.

Положительные решения

Как уже говорилось ранее, часто из всех найденных решений неопределённого уравнения нужно взять лишь те, которые дают одновременно положительные значения для х и у. Найдя общие формулы для х и у, можно сразу определить, при каких значениях произвольного множителя будут получаться целые и положительные значения х и у.

Для того чтобы x и у были положительными, необходимо брать для t только такие значения, при которых:
a+bt>0; β-αt>0.

Будем считать а числом положительным. (Это мы всегда имеем право предположить, так как в противном случае мы могли бы обе части уравнения умножить на —1.) Тогда могут встретиться три различных случая.

1. Оба неравенства одинакового смысла. Это случится когда b — число отрицательное. В самом деле, пользуясь свойствами неравенства, будем иметь:
bt > — a ; at 0; 2+-5t>0,
или

Взяв для t любое целое число, большее (или, что то же, большее нуля), мы будем получать бесчисленное множество пар положительных значений х и у, удовлетворяющих данному уравнению.

Пример:

Решаем уравнение:

Ищем положительные решения:
1 —3t>0; 7 —8t>0,
или

Любое целое значение t, меньшее (т. е. 0, —1, —2, …), даёт целые и положительные значения для х и у.

2. Неравенства противоположного смысла, причём они противоречат одно другому. Пусть, например, мы получим следующие неравенства:

Очевидно, что не существует таких значений t, которые одновременно удовлетворяли бы обоим неравенствам. В этом случае уравнение не может иметь положительных решений.

Пример:

4x+5y=-7.
Решая это уравнение, получим:
х=— 3+5t; y=1—4t.
Отсюда:
— 3+5t>0; 1 — 4t>0,
или

Неравенства противоречат друг другу; уравнение не имеет положительных решений.

3. Неравенства противоположного смысла, причём они не противоречат друг другу. Пусть, например, мы получили неравенства:

Все целые значения t, заключающиеся между и , т. е. 5,
6 и 7, дадут для х и у положительные решения. Таким образом, в этом случае:

Уравнение имеет столько целых положительных решений, сколько целых чисел заключено между найденными пределами для t.

Заметим, что, в частности, уравнение и здесь может не иметь положительных решений. Это будет тогда, когда между найденными пределами для t не содержится ни одного целого числа. Например, пусть мы получим неравенства:

Неравенства не противоречат друг другу, но между и не
находится ни одного целого числа. Уравнение не имеет целых положительных решений.

Пример:

3x+7y=55.
Решаем уравнение:

у=1 — 3t; x= 16+7t.

Отсюда:
1 —3t>0; 16+7t> 0,
или

Очевидно, для / можно взять лишь значения: 0; —1; —2. Получаем три решения уравнения:

Пример:

5. 5x+4y=3.
Решая уравнение, получим:
х=— 1 + 4t; у=2 —5t.
Отсюда:

Неравенства не противоречат друг другу; но между и нет целых чисел. Уравнение не имеет целых положительных решений.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)

Разделы: Математика

Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.

Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.

В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.

Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.

Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.

Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.

Цель урока:

повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
• воспитание познавательного интереса к учебному предмету
• формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию

Урок 1.

Ход урока.

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1

x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.

Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0

Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.

Пример: 34x – 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.

Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.

Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.

Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:

где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z

Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)

m, n, x, y Z

Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид

5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:

9x – 18y = 5

x + y= xy

Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

Урок 2.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания

5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

Методом подбора можно найти решение

3) Составим уравнение:

Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174

Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.

Ответ: мальчиков 4, девочек 6.

3) Изучение нового материала

Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

I. Метод рассмотрения остатков от деления.

Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.

Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.

1. Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
2. Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
3. Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.

Ответ: где m Z.

Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

Пример: Решить уравнения в целых числах.

Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.

y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.

y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.

y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.

Следовательно, y = 4n, тогда

4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Ответ: , где n Z.

II. Неопределенные уравнения 2-ой степени

Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.

И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Пример: Решить уравнение в целых числах.

13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Рассмотрим эти случаи

а) =>

б) =>

в) =>

г) =>

4) Домашнее задание.

Примеры. Решить уравнение в целых числах:

а)

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	не подходит	не подходит
2x = -4	не подходит	не подходит
x = -2
y = 0

б)

в)

Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?

Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?

Упражнения для тренировки.

1) Решите в целых числах.

а) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:

а) 8x + 65y = 81	x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183	x = 4, y = 5

3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям

а) x + y = xy	(0;0), (2;2)
б)	(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2)

Число 3 можно разложить на множители:

a)

б)

в)

г)

в)	(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)	(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)	(48;0), (24;1), (24;-1)
е)	x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1	x = m: y = 2m – 1, m Z
з)	x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)	решений нет

4) Решить уравнения в целых числах

	(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5	(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3	(0;-4), (1;-2), (1;2)
	(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
	(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
	(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23)

5) Решить уравнения в целых числах.

а)	(-1;0)
б)	(5;0)
в)	(2;-1)
г)	(2; -1)

Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.

Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.

Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.

Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.

Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”.

Пример частного решения линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:
C’₁·e -3x ·cos(2x)+C’₂·e -3x ·sin(2x)=0
C’₁(-2·e -3x ·sin(2x)-3·cos(2x)·e -3x ) + C’₂(-3·e -3x ·sin(2x)+2·cos(2x)·e -3x ) = 8*exp(-x)
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c2·sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = -4·e 2x ·sin(2x)
C’₂ = 4·cos(2x)·e 2x
Интегрируем полученные функции C’_i:
C₁ = -e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * ₁
C₂ = e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * ₂
Записываем полученные выражения в виде:
C₁ = (-e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·cos(2x)·e -3x + C * ₁e -3x ·cos(2x)
C₂ = (e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·e -3x ·sin(2x) + C * ₂e -3x ·sin(2x)
или
C₁ = -cos(2x)·e -x ·sin(2x)+cos 2 (2x)·e -x + C * ₁e -3x ·cos(2x)
C₂ = cos(2x)·e -x ·sin(2x)+sin 2 (2x)·e -x + C * ₂e -3x ·sin(2x)
y = C₁ + C₂
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример . y″ + 5y’ + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r 2 +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 5 2 — 4·1·6 = 1


Корни характеристического уравнения: r₁ = -2, r₂ = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y₁ = e -2x , y₂ = e -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C₁·e -2x +C₂·e -3x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c₁+c2, то получаем первое уравнение:
c₁+c2 = 1
Находим первую производную: y’ = -3·c₂·e -3·x -2·c1·e -2·x
Поскольку y'(0) = -3·c₂-2·c₂, то получаем второе уравнение:
-3·c₂-2·c₂ = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁+c2 = 1
-3·c₂-2·c₂ = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c₁ = 6, c₂ = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: y =6·e -2x -5·e -3x
Рассмотрим правую часть: f(x) = 12·cos(2·x)
Уравнение имеет частное решение вида: y * = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные: y’ = -2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x); y″ = -4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 5y’ + 6y = (-4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)) + 5(-2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12·cos(2·x) или -10·A·sin(2x)+2·A·cos(2x)+2·B·sin(2x)+10·B·cos(2x) = 12·cos(2·x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = 3 /₁₃;B = 15 /₁₃;
Частное решение имеет вид:
y * = 3 /₁₃cos(2x) + 15 /₁₃sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 2 . y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r 2 + 1 = 0
D = 0 2 — 4·1·1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r₁ = i, r₂ = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e 0 x cos(x) = cos(x)
y₂ = e 0 x sin(x) = sin(x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C₁·cos(x)+C₂·sin(x)

Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)

Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r₁).

Уравнение имеет частное решение вида:
y * = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y’ = sin(x)(B-A·x)+cos(x)(A+B·x)
y″ = cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ + y = (cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2·B·cos(x)-2·A·sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B = 1
-2A = 0
Следовательно:
A = 0; B = 1 /₂;
Частное решение имеет вид: y * = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/417558

http://math.semestr.ru/math/example-differential.php