Линейные и нелинейные уравнения в математических моделях

Линейные и нелинейные модели

Линейными моделями считают такие, для которых выполняется принцип суперпозиции: реакция на суммарное входное воздействие является суммой реакций на каждое из отдельных входных воздействий, составляющих это суммарное.

Такое определение охватывает как статические, так и динамические модели. Применительно к линейным моделям можно также утверждать, что их выход пропорционален входу: чем больше сигнал на входе, тем больше он на выходе. При этом отношение величины выходного сигнала в установившемся режиме к величине входного является коэффициентом пропорциональности.

Так, динамическое уравнение

из предыдущего примера является линейной моделью (поскольку и сами переменные x(t), y(t), и их производные – в данном случае y'(t) – входят в уравнение в первой степени). Из этого уравнения можно легко получить статическую модель (статическую характеристику), приравняв производные нулю (так как статическая характеристика – это зависимость выхода от входа в установившемся режиме, т.е. в таком режиме, когда закончены все переходные процессы, а значит, и все изменения переменных). Итак, получаем: 4y = 5x, или y = 1,25x. Коэффициент пропорциональности в данном случае равен 1,25.

Линейную статическую характеристику и прохождение сигналов с выхода на вход безынерционного звена, а также искажение выходного сигнала из-за нелинейной статической характеристики типа «насыщение» иллюстрирует рис. 1.16.

Рис. 1.16. Линейная и нелинейная статические характеристики

Однако линейные и нелинейные модели используются не только в технике. Например, в фольклоре разных народов существуют поговорки, изречения, передающие народную мудрость, которые также можно рассматривать в качестве семантических моделей.

Примеры линейных моделей: 1) «Чем дальше в лес, тем больше дров»; 2) «По доходу и расход».

Рис. 1.17. Линейные семантические модели

В двух первых моделях пропорциональная статическая зависимость выхода от входа проиллюстрирована на рис. 1.17.

Примеры нелинейных моделей: 1) «Мал золотник, да дорог»; 2) «Велика фигура, да дура». В двух последних моделях нелинейность выражается в обратной пропорциональности выхода входу и может быть отображена на графике статической характеристики (рис. 1.18).

Рис. 1.18. Нелинейные семантические модели

Разумеется, что как линейные, так и разнообразные нелинейные модели находят применение и в других областях. Так, например, в биологии известно, что чем больше вес животного, тем больше пищи оно употребляет для поддержания энергетического баланса (линейная модель) или чем меньше размеры млекопитающего, тем выше у него частота пульса (нелинейная модель) и т.п.

Линейные модели с помощью линейных же преобразований можно трансформировать в другие линейные модели. Например, от модели в виде линейного дифференциального уравнения путем применения линейного интегрального преобразования Лапласа можно перейти к модели в виде передаточной функции. Покажем это на уравнении:

Применим к нему преобразование Лапласа и получим: 2sY(s)+4Y(s)=5X(s), где s – комплексная переменная Лапласа. Далее в левой части вынесем за скобки Y(s) и вспомним из курса ТАУ, что передаточная функция есть отношение преобразованного по Лапласу (при нулевых начальных условиях) выходного сигнала к преобразованному по Лапласу (при тех же условиях) входному сигналу. В результате получим:

Таким образом, мы получили передаточную функцию апериодического звена с коэффициентом усиления, равным 1,25, и постоянной времени, равной 0,5. При желании можно с помощью линейного преобразования Фурье получить из исходной модели еще одну линейную модель в виде частотных характеристик (из передаточной функции получить ее совсем просто: нужно только произвести замену s=jω). Итак,

Как правило, реальные объекты и процессы имеют в той или иной степени нелинейный характер, но во многих случаях можно осознанно пренебречь нелинейными свойствами для того, чтобы воспользоваться хорошо разработанным математическим аппаратом исследования линейных моделей для получения предварительных результатов. Однако делать это нужно осторожно, объективно оценивая погрешности и обосновывая возможность такого упрощения.

Так, например, при тщательном описании оказывается, что фактически любые датчики имеют зону нечувствительности – сугубо типовую нелинейность, которая характеризует тот факт, что при очень малых сигналах на входе даже самый чувствительный измерительный прибор на выходе показывает «нуль», означающий отсутствие входного сигнала. Все зависит от величины этой зоны нечувствительности: в некоторых случаях она так мала, что ей можно пренебречь, и тогда модель становится уже линейной.

Дата добавления: 2016-02-02 ; просмотров: 2274 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Основы математического моделирования систем и процессов (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5

В каждом из перечисленных случаев в различной степени сказывается влияние таких ранее не учтенных факторов, как сила сопротивления воздуха, притяжение Луны, Солнца, убывание плотности атмосферы с высотой, вращение Земли, ветер, по-разному дующий на разных высотах, фактическое отличие формы Земли от шара (она является телом более сложной геометрической формы).

Проблема 3. Определение уровня детализации исследуемого объекта.

Любая физическая система представляет собой совокупность элементов. Каждый элемент в свою очередь можно расчленить на подэлементы. Процесс расчленения теоретически может быть бесконечным. Задача исследователя – выбрать оптимальный уровень детализации моделируемого объекта. Уровень детализации определяется целью моделирования и степенью знаний о свойствах элементов объекта.

Детализацию целесообразно производить до такого уровня, на котором для каждого элемента можно определить зависимость параметров выходных сигналов от параметров входных сигналов. Стремление повысить уровень детализации приводит к чрезмерной громоздкости модели и резкому увеличению ее размерности.

3-й этап. Формирование математической модели, т. е. запись модели в формализованном виде:

все соотношения записывают в аналитической форме;

логические условия выражают в виде систем неравенств;

случайные процессы заменяют их типовыми моделями.

4-й этап. Исследование математической модели. Инструментами исследования являются численные и аналитические методы.

5-й этап. Анализ результатов моделирования с последующим выводом об адекватности модели либо о необходимости ее доработки, либо о ее непригодности.

1.3.4. Классификация математических моделей

Математические модели можно классифицировать по форме их представления (рис. 1.10). За основу второй классификации (рис. 1.11) взят характер модели.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Области применения

Исследование некоторых физических систем приводит к математическим моделям в форме систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Иногда СЛАУ появляются в процессе математического моделирования как промежуточный шаг (этап) в решении более сложной задачи. Есть значительное число научно-технических задач, в которых математические модели сложных нелинейных систем посредством дискретизации или линеаризации сводятся к решению СЛАУ.

Примеры задач, использующих математические модели в форме СЛАУ:

1) при проектировании и эксплуатации электротехнических устройств требуется проведение расчета и анализа их работы в стационарных режимах. Задача сводится к расчету эквивалентных схем, в основе которого лежит формирование и решение СЛАУ;

2) при построении математической модели, связывающей функциональной зависимостью некоторые параметры x, y исследуемого объекта на основании полученных в результате эксперимента данных , где i = 1,2,3, . ,n (задачи аппроксимации данных);

3) при исследовании процессов в системах, математические модели которых строятся в классе дифференциальных уравнений в частных производных. В результате разностной аппроксимации исходной модели при определенных условиях приходят к математическим соотношениям в форме СЛАУ;

4) сущность многих физических процессов математически отображается с помощью интегральных уравнений. Ввиду сложности решения многих из них исследователь предпочитает свести задачу к решению модели в форме СЛАУ, используя известные методы аппроксимации.

5) исследование систем автоматического регулирования в установившемся режиме приводит во многих случаях к статическим моделям в форме СЛАУ.

Система линейных уравнений порядка n имеет вид:

(2.1)

или в векторно-матричной форме:

(2.2)

где – вектор свободных членов;

– вектор неизвестных;

A – матрица коэффициентов системы, размером .

2.2. Методы решения

Методы решения СЛАУ делятся на две группы: прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы позволяют получить решение за конечное число шагов. Итерационные методы построены по принципу многократного вычисления последовательных приближений, сходящихся к искомому решению.

Прямые методы целесообразно использовать для решения систем сравнительно небольшой размерности с плотно заполненной матрицей (матрицей, имеющей малое количество нулевых элементов). Итерационные методы предпочтительнее в задачах большой размерности со слабо заполненными матрицами.

К прямым методам относятся метод определителей, метод Гаусса и его модификации, метод LU-разложения, матричный метод и др. К разряду итерационных методов принадлежат метод простой итерации, метод Зейделя.

2.2.1. Прямые методы

2.2.1.1. Метод Гаусса

Решение СЛАУ осуществляется в два этапа (прямой и обратный ход)

Прямой ход. Исходная система (2.1) путем последовательных преобразований приводится к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений. В результате получается эквивалентная система:

(2.3)

Обратный ход. С помощью подстановки в предпоследнее (n-1)-е уравнение системы (2.3) вычисляется . Подстановкой и в (n-2)-е уравнение определяют . Таким же образом последовательно определяют неизвестные .

П р и м е р 14. Решить систему с тремя неизвестными методом Гаусса:

(2.4)

Прямой ход. Первое уравнение из системы (2.4) разделим на 3:

(2.5)

Из второго уравнения исключим неизвестное Для этого ко второму уравнению прибавим преобразованное первое уравнение, умноженное на (–2). Получим:

(2.6)

(2.7)

Разделим уравнение (2.7) на . Получим:

. (2.8)

Из третьего уравнения системы (2.4) исключим . Для этого из третьего уравнения вычтем первое преобразованное (2.5):

(2.9)

(2.10)

Разделим уравнение (2.10) на :

, (2.11)

(2.12)

Из третьего уравнения системы (2.12) исключим неизвестное . Для этого к третьему уравнению прибавим второе:

(2.13)

или , (2.14)

откуда выразим : .

Тогда эквивалентная система в треугольном виде примет вид:

(2.15)

Обратный ход. Подставим значение во второе уравнение системы (2.15) и найдем . Подстановкой значений и в первое уравнение найдем .

Если квадратная матрица линейной системы

(2.16)

имеет отличные от нуля главные диагональные миноры, т. е.

(2.17)

то она может быть разложена на произведение двух треугольных матриц – нижней с ненулевыми диагональными элементами и верхней – с единичными диагональными элементами

(2.18)

Поэтому матричное уравнение (2.16) можно заменить уравнением:

(2.19)

Введем вектор вспомогательных переменных Тогда уравнение (2.19) можно записать в виде системы двух векторно-матричных уравнений:

(2.20)

Таким образом, решение системы (2.16) сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами типа (2.3) или (2.15), из которых неизвестные определяются последовательной подстановкой.

Математически это выражается так: из первого уравнения системы (2.20) определяется вектор :

, (2.21)

после чего из второго уравнения системы (2.19) вычисляется вектор :

. (2.22)

Обратные матрицы и существуют, т. к. определители треугольных матриц L и U, вычисляемые как произведения их диагональных элементов, отличны от нуля.

Метод LU-разложения – это фактически метод Гаусса, выраженный в векторно-матричной форме, отличающийся от классического варианта способом хранения матриц.

2.2.1.3. Матричный метод

Если для системы выполняется условие невырожденности матрицы A

, (2.23)

то решение этой системы можно представить в виде:

, (2.24)

где – обратная матрица.

2.2.2. Итерационные методы

2.2.2.1. Метод простых итераций

Исходная система уравнений (2.1) приводится к виду:

(2.25)

(2.26)

Задав начальные (нулевые) приближения для искомых неизвестных:

(2.27)

подставляем их в правую часть системы (2.26). Получаемые при этом в левой части системы значения представляют собой первые приближения:

, (2.28)

где

Подставив первые приближения в правую часть системы (2.26), в левой ее части получим вторые приближения − :

. (2.29)

Таким образом, итерационный процесс описывается соотношениями:

(2.30)

Полученные в результате последовательности итераций приближения: сходятся к истинному решению системы (2.1), в том случае, если для коэффициентов системы (2.26) выполняется хотя бы одно из условий:

; (2.31)

. (2.32)

Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет выполнено условие:

(2.33)

где – заданная точность.

2.2.2.2. Метод Зейделя

Метод Зейделя – модификация метода простых итераций, обеспечивающая ускорение сходимости итерационного процесса к истинному решению системы за счет следующего приема.

Уточненное значение , полученное из первого уравнения системы (2.26) вводится во второе уравнение системы и используется для вычисления . Затем уточненные значения , вводятся в третье уравнение системы (2.26) и используются для вычисления . Таким образом, k-е приближение будет определяться через уточненные в процессе k-й итерации значения . Следовательно, итерационный процесс, реализуемый в методе Зейделя, может быть выражен соотношениями:

(2.34)

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ НЕЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Пример формирования модели

П р и м е р 15. Моделируемый объект – нелинейная цепь постоянного тока (рис. 3.1). R2 – нелинейное сопротивление.

По закону Кирхгофа

(3.1)

Нелинейную вольт-амперную характеристику (ВАХ) элемента R2 аппроксимируем выражением:

(3.2)

Сделаем подстановку выражения (3.2) в уравнение (3.1):

(3.3)

(3.4)

f(i)

Соотношение f(i) = 0 представляет собой математическую модель электрической цепи в форме нелинейного алгебраического уравнения относительно тока i. Решение этой модели позволит определить ток i в цепи при заданных значениях U и R1.

Исследование объектов различной физической природы в установившемся режиме часто приводит к статическим моделям в форме нелинейных алгебраических уравнений.

Алгебраическое уравнение может содержать только алгебраические функции, в которых над переменной x производятся арифметические операции, возведение в степень с рациональным показателем и извлечение корня. Например:

(3.5)

(3.6)

В некоторых задачах моделирование приводит к трансцендентному уравнению.

Трансцендентным называется уравнение, в состав которого входят трансцендентные функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, возведение в иррациональную степень. Например:

(3.7)

(3.8)

3.2. Базовые понятия

Уравнение с одним неизвестным x в общем случае имеет вид:

где z(x) и g(x) — функции, определенные на некотором числовом множестве X, называемом областью допустимых значений уравнения.

Другая форма записи уравнения с одним неизвестным имеет вид:

где f(x) = z(x) – g(x) получается в результате переноса функции g(x) в левую часть уравнения (3.9).

Всякое значение x*, которое при подстановке в уравнение (3.10) обращает его в числовое равенство, а функцию f(x) — в ноль, т. е. такое, что

, (3.11)

называется корнем уравнения, или нулем функции f(x).

Решить уравнение – значит найти все его корни (решения) или доказать, что уравнение не имеет корней.

Для алгебраических уравнений число корней известно заранее. Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел n корней с учетом кратности.

3.3. Методы решения

Аналитическое (явное) решение, т. е. решение в виде готовой формулы, выражающей неизвестное x через параметры уравнения, можно получить только для ограниченного круга уравнений, например формулы для вычисления корней квадратного (аx2+bx+c=0) и кубического (x3+px+q=0) уравнений. Решение некоторых простейших трансцендентных уравнений может быть получено в аналитической форме с использованием степенных рядов, непрерывных дробей и т. д.

В большинстве случаев найти явное решение уравнения очень сложно или невозможно. Кроме того, использование аналитических формул для решения большинства уравнений не может обеспечить получение точного значения корня, поскольку коэффициенты уравнения являются приближенными величинами, определенными в результате измерений. Поэтому задача отыскания точного значения корня теряет смысл.

Ставится задача – определить приближенное значение корня уравнения с заданной точностью.

Приближенное решение математических задач лежит в основе численных методов.

3.3.1. Особенности численных методов решения

3.3.1.1. Этапы численного решения нелинейного уравнения

Численное решение уравнения f(x) = 0 (речь идет о действительных корнях) проводят в два этапа:

1) отделение корней, т. е. отыскание таких достаточно малых отрезков в области допустимых значений x, в которых содержится только один корень;

2) уточнение корней, т. е. вычисление корней с заданной точностью.

3.3.1.2. Отделение корней

Рассмотрим несколько способов отделения корней.

С п о с о б 1 – по графику функции y = f(x).

приближенно определяется как абсцисса точки пересечения графика с осью Оx (рис. 3.2). Устанавливаются границы a и b отрезка, в пределах которого заключен только один корень x*.

С п о с о б 2 – уравнение f(x) = 0 заменяют равносильным:

. (3.13)

Строят графики функций и

Приближенное значение корня определяют как абсциссу точки пересечения этих графиков.

Например: отделим корень уравнения

(3.14)

для области значений аргумента x > 0.

Преобразуем уравнение (3.14) к виду:

(3.15)

где

Строим графики (рис. 3.3) и находим приближенно x* и отрезок .

С п о с о б 3 – по таблице значений функции f(x) на интересующем интервале изменения аргумента x. Например, представим таблицу (табл.3.1) значений функции

. (3.16)

Из данных табл. 3.1 видно, что корень уравнения существует и его следует искать на отрезке [7,0; 10,0], так как значения функции на концах этого отрезка имеют разные знаки.

Таблица значений функции

С п о с о б 4 – аналитический метод отделения корней, который базируется на знании следующих свойств функции:

а) если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения ;

б) если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри этого отрезка существует корень уравнения и притом единственный.

Функция называется монотонной в заданном интервале, если при любых из этого интервала она удовлетворяет условию (монотонно возрастающая функция)

или (монотонно убывающая функция).

Необходимым и достаточным условием монотонности функции в заданном интервале является выполнение для всех внутренних точек этого интервала условия или

Зная свойства функции , можно сделать вывод о характере графика , что может существенно облегчить процесс отыскания корней. Продемонстрируем это для непрерывной и монотонной на отрезке функции , которая принимает на концах отрезка значения разных знаков, имеет во всех точках интервала первую и вторую производные и , сохраняющие постоянный знак (рис. 3.4).

3.3.1.3. Уточнение корней

Рассмотрим несколько численных методов уточнения корней, применяемых для решения как алгебраических, так и трансцендентных уравнений. Эти методы относятся к разряду итерационных.

Итерационный процесс состоит в последовательном шаг за шагом уточнении начального приближения x0 искомого корня. Каждый шаг такого метода называется итерацией.

В результате реализации итерационного метода получают последовательность приближенных значений корня Если эти значения с увеличением n приближаются к истинному значению корня x*, то говорят, что итерационный процесс сходится.

3.3.1.3.1. Метод половинного деления (дихотомии, бисекции)

Пусть дано уравнение

(3.17)

где функция непрерывна и монотонна на отрезке и имеет на концах отрезка разные знаки:

(3.18)

Требуется найти корень уравнения (3.17) с точностью до График функции представлен на рис. 3.5.

Рассмотрим суть и этапы реализации метода половинного деления.

1) Отрезок делим пополам и определяем середину отрезка:

(3.19)

2) Вычисляем значение функции в точке Если , то является корнем уравнения. Если то поиск корня продолжается на одном из двух полученных отрезков – или . Следует выбрать тот отрезок, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков. В данном случае (см. рис. 3.5) выбираем отрезок , так как для него выполняется условие: Для того чтобы сохранить в дальнейших расчетах единое обозначение текущего отрезка, на котором ведется поиск корня на данном шаге вычислений, необходимо параметру b присвоить новое значение : b = . С точки зрения геометрической интерпретации (см. рис. 3.5) это означает, что правая граница исходного отрезка точка b переносится в точку а оставшаяся за пределами точки часть графика дальше не рассматривается.

Учебное пособие Допущено Федеральным агентством по образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений Москва 2006

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

1.5.5. Линейные и нелинейные модели

Линейными моделями считают такие, для которых выполняется принцип суперпозиции , заключающийся в том, что реакция на суммарное входное воздействие является суммой реакций на каждое из отдельных входных воздействий, составляющих это суммарное.

Такое определение охватывает как статические, так и динамические модели. Применительно к линейным моделям можно также утверждать, что их выход пропорционален входу: чем больше сигнал на входе – тем больше он на выходе. При этом отношение величины выходного сигнала в установившемся режиме к величине входного как раз является коэффициентом пропорциональности.

Так, динамическое уравнение из предыдущего примера 1.5.4.5: является линейной моделью (поскольку и сами переменные x ( t ) , y ( t ) , и их производные – в данном случае y ‘( t ) — входят в уравнение в первой степени). Из этого уравнения можно легко получить статическую модель (статическую характеристику), приравняв производные нулю (так как статическая характеристика, напомним, это зависимость выхода от входа в установившемся режиме, т.е. в таком режиме, когда закончены все переходные процессы, а значит и все изменения переменных). Итак, получаем: 4 y = 5 x , или y = 1,25 x . Коэффициент пропорциональности в данном случае равен 1,25 .

Линейную статическую характеристику и прохождение сигналов с выхода на вход безынерционного звена, а также искажение выходного сигнала из-за нелинейной статической характеристики типа «насыщение» иллюстрирует рис. 1.5.5.1.

Рис. 1.5.5.1. Линейная и нелинейная статические характеристики.

Однако линейные и нелинейные модели используются не только в технике. Так, например, в фольклоре разных народов существуют поговорки, изречения, передающие народную мудрость, которые также можно рассматривать в качестве семантических моделей.

Примеры линейных моделей: 1) «Чем дальше в лес, тем больше дров»; 2) «По доходу и расход».

Рис. 1.5.5.2. Линейные семантические модели.

В двух первых моделях пропорциональная статическая зависимость выхода от входа может быть проиллюстрирована рисунком 1.5.5.2.

Примеры нелинейных моделей: 3) «Мал золотник, да дорог»; 4) «Велика Федора, да дура». В двух последних моделях нелинейность выражается в обратной пропорциональности выхода входу и может быть отображена на графике статической характеристики так, как показано на рисунке 1.5.5.3.

Рис. 1.5.5.3. Нелинейные семантические модели.

Разумеется, что как линейные, так и разнообразные нелинейные модели находят применение и в других областях. Так, например, в биологии известно, что чем больше вес животного, тем больше пищи оно употребляет для поддержания энергетического баланса (линейная модель) и т.п.

Линейные модели с помощью линейных же преобразований можно трансформировать в другие линейные модели. Так, например, от модели в виде линейного дифференциального уравнения путем применения линейного интегрального преобразования Лапласа можно перейти к модели в виде передаточной функции. Покажем это на примере уравнения из примера 1.5.4.5: . Применим к нему преобразование Лапласа и получим: 2 sY ( s )+4 Y ( s )=5 X ( s ) , где s – комплексная переменная Лапласа. Далее в левой части вынесем за скобки Y ( s ) и вспомним из курса ТАУ, что передаточная функция есть отношение преобразованного по Лапласу (при нулевых начальных условиях) выходного сигнала к преобразованному по Лапласу (при тех же условиях) входному сигналу. В результате получим:

.

Таким образом, мы получили передаточную функцию апериодического звена с коэффициентом усиления, равным 1,25 и постоянной времени, равной 0,5 . При желании можно с помощью линейного преобразования Фурье получить из исходной модели еще одну линейную модель в виде частотных характеристик (из передаточной функции получить ее совсем просто: нужно только произвести замену s = jω ). Итак,

.

Как правило, реальные объекты и процессы имеют в той или иной степени нелинейный характер, но во многих случаях оказывается возможным осознанно пренебречь нелинейными свойствами для того, например, чтобы воспользоваться хорошо разработанным математическим аппаратом исследования линейных моделей для получения предварительных результатов. Однако делать это нужно осторожно, объективно оценивая погрешности и обосновывая возможность такого упрощения.

Так, например, при тщательном описании оказывается, что фактически любые датчики имеют зону нечувствительности – сугубо типовую нелинейность, которая характеризует тот факт, что при очень малых сигналах на входе даже самый чувствительный измерительный прибор на выходе показывает «нуль», означающий отсутствие входного сигнала. Все зависит от величины этой зоны нечувствительности: в некоторых случаях она так мала, что ей можно пренебречь, и тогда модель становится уже линейной.

1.5.5.1. Преимущества и недостатки линейных моделей

Динамические линейные стационарные системы с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Для таких моделей гарантировано получение аналитического решения (теорема Коши существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений n -го порядка с постоянными коэффициентами).

Системы, исходно нелинейные, но линеаризованные в окрестности опорных траекторий, также описываются с помощью линейных уравнений.

Однако при этом не учитываются важные, интересные, тонкие эффекты, связанные с проявлением нелинейных свойств. Таким образом, линейные модели являются упрощенными по сравнению с нелинейными.

1.5.6. Стационарные и нестационарные модели

Стационарными называют объекты и процессы, параметры которых не изменяются с течением времени. Зачастую стационарность модели является следствием намеренного упрощения описываемого объекта или процесса. Примером стационарной модели может служить дифференциальное уравнение с постоянными, т.е. не зависящими от времени коэффициентами:

Большинство реальных систем и процессов не обладает свойством стационарности: со временем изнашиваются соприкасающиеся детали механизмов, в доменной печи обгорают свод и стены топки, изменяя теплоотдачу, сечение водопроводных труб уменьшается за счет отложения на стенках карбонатов. Под воздействием внешней среды со временем изменяются такие характеристики материалов, как упругость, прозрачность, магнитная и диэлектрическая проницаемость, теплопроводность и др. — в результате т.н. причин естественного старения. Такие изменения, разумеется, нежелательны. Но иногда изменения свойств с течением времени бывают нужны: например, в термисторах используется свойство изменения внутреннего электрического сопротивления в зависимости от температуры внешней среды (поскольку температура изменяется во времени, то и сопротивление, в конечном счете, зависит от времени). Если изменения параметров не значительны за время рассмотрения процесса или системы, то пользуются приближенными стационарными моделями, которые можно исследовать аналитически, благодаря хорошо разработанному математическому аппарату.

Для нестационарной модели важно, что изменения параметров происходят не за любое время вообще, а за время, сопоставимое со временем, в течение которого процесс исследуется, например, за время переходного процесса. Пример нестационарной модели – уравнение с коэффициентами, явно зависящими от времени:

,

в котором даже одного из коэффициентов 2 t или 4 sin ( t ) вполне достаточно, чтобы модель была нестационарной.

Нестационарные модели являются существенно более сложными, чем стационарные. Аналитическое решение для них оказывается возможным получить только в отдельных, довольно редких случаях. В общем случае исследовать нестационарные модели удается только с помощью численных методов.

1.5.7. Сосредоточенные и распределенные модели

Математическими моделями на микроуровне проектирования служат дифференциальные уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающие поля физических величин, т.е. модели с распределенными параметрами. Независимыми переменными являются пространственные координаты x , y , z и время t . Примерами таких моделей являются уравнения математической физики с заданными краевыми условиями. Например, уравнение теплопроводности:

которое описывает зависимость температуры Т не только от времени t , но и от расстояния x сечения стержня от нагреваемого конца, как показано на рис. 1.5.7.1.

Рис. 1.5.7.1. Изменение температуры в зависимости от времени и от расстояния сечения от нагреваемого конца.

Уравнения математической физики имеют общий вид: LV ( z )= f ( z ) , где z =( t , x , y , z ) – вектор независимых переменных; L – дифференциальный оператор; V ( z ) – функция, определяемая природой описываемого объекта.

Другие примеры уравнений в частных производных: уравнения диффузии, упругости, электро- и газодинамики.

Уравнение диффузии описывает зависимость концентрации частиц N не только от времени t , но и от положения ( x , y , z ) точки в теле (в среде):

где D – коэффициент диффузии.

Уравнения непрерывности описывают изменения дырочного и электронного токов в полупроводниковых приборах. Для дырок:

Здесь p – концентрация дырок, n – электронов; q – заряд электрона; J p и J n – плотности дырочного и электронного токов; g p и g n – скорости процессов генерации-рекомбинации дырок и электронов.

Уравнение теплопроводности в общем случае трех пространственных координат (а не только одной, как в случае со стержнем) также записывается через дивергенцию и градиент температуры:

где С – удельная теплоемкость, D — плотность, Т – температура, t – время, 8 — коэффициент теплопроводности, g — количество теплоты, выделяемой в единицу времени в единице объема.

Напомним, что градиент есть векторная функция:

Если обозначить частные производные

,

то дивергенцию – скалярную функцию — можно записать в следующем виде:

.

1.5.8. Классификация видов моделей

Все рассмотренные выше виды моделей входят в классификацию, приведенную, например, в [5]. Схема классификации приведена на рис. 1.5.8.1.

Рис. 1.5.8.1. Схема классификации видов идеальных и реальных моделей.

На схеме выделены цветом те виды моделей, которые изучаются в данной дисциплине более подробно.

Особенности использования детерминированных и стохастических, дискретных и непрерывных, статических и динамических, стационарных и нестационарных, распределенных и сосредоточенных моделей были рассмотрены выше.

В зависимости от формы представления оригинала, то есть средств, используемых при создании моделей, можно выделить идеальное (абстрактное) и реальное моделирование.

Идеальное, или абстрактное моделирование зачастую позволяет исследовать модели объектов, которые практически нереализуемы в заданном интервале времени или не поддаются физическим экспериментам. Идеальное моделирование, как уже говорилось, реализуется посредством сознания человека в виде наглядных , символических и математических моделей. Наглядные модели создаются на основе представлений людей о реальных объектах и явлениях и о протекающих в них процессах. При этом гипотетические модели являются наименее информативными, опираются на недостаточный для построения формальных моделей уровень знаний исследователя об объекте, отраженный в гипотезах, положенных в основу этих моделей. Аналоговые модели используют аналогии разных уровней: от полной аналогии, существующей только для относительно простых объектов, до более низких уровней частных аналогий, охватывающих несколько или даже всего одну сторону функционирования сложного объекта. Идеальные наглядные макеты применяются в тех случаях, когда процессы, протекающие в реальном объекте, не поддаются физическому моделированию. Для построения идеальных макетов также используются аналогии, как правило, основанные на причинно-следственных связях между процессами и явлениями, происходящими в моделируемом объекте.

Символьные модели включают знаковые и языковые модели, рассмотренные выше (п.п. 1.4.7. и 1.4.8). Они представляют собой логические объекты, замещающие реальные объекты-оригиналы и выражающие с помощью определенной системы (алфавита) знаков или символов основные понятия этих оригиналов, а с помощью логических операций — отношения между понятиями.

Математические модели представляют собой математические объекты, соответствующие реальным объектам или процессам, конкретный вид которых зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования и требований адекватности и точности их решения. Математические модели подразделяют на аналитические , имитационные и комбинированные .

Аналитические модели характеризуются тем, что процессы функционирования элементов исходной реальной системы записываются в них в виде функциональных соотношений: алгебраических, дифференциальных, интегральных, конечно-разностных и др., а также в виде логических условий. Примером могут служить математические аналитические модели, использующие переменные состояния и аппарат матриц, подробно рассмотренные в п. 2.4 данного учебника. Полученные аналитические модели исследуют следующими методами: 1) аналитическим , 2) численным или 3) качественным . Аналитический метод исследования необходим в том случае, когда нужно получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик. Аналитический метод решения продемонстрирован в примере 1.5.4.5. При невозможности или нецелесообразности решения уравнений в общем виде стремятся получить числовые результаты для конкретных начальных данных, что и приводит к т.н. численному методу исследования. Подобный численный метод решения дифференциальных уравнений рассматривается в гл. 3. Качественный метод исследования позволяет даже при отсутствии решения в явном виде определить некоторые важные свойства этого решения, например, его устойчивость.

Как правило, аналитический метод применим к относительно простым объектам и процессам или к упрощенным моделям. Как это было показано, например, возможно аналитическое решение линейных стационарных дифференциальных уравнений, но это невозможно в общем случае для нелинейных и/или нестационарных дифференциальных уравнений. Численный метод более универсален и позволяет исследовать по сравнению с аналитическим более широкий класс систем, кроме того, он ориентирован на применение компьютеров. Качественные методы анализа используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.

Имитационные модели отображают все элементарные явления, составляющие моделируемый процесс с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состоянии процесса в определенные моменты времени и оценить характеристики процесса. Основное преимущество имитационного моделирования по сравнению с аналитическим заключается в возможности решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные и нестационарные характеристики элементов, разнообразные случайные воздействия и другие, которые создают зачастую непреодолимые трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование представляет собой наиболее эффективный метод исследования сложных и больших систем, а иногда и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования. Более подробно имитационные модели и методы будут рассмотрены во второй части курса.

При реальном моделировании исследование характеристик объекта производится либо полностью на самом реальном объекте, либо частично на реальном объекте, частично на модели. При этом реальный объект может работать как в нормальном режиме, так и в специальных режимах (в ином масштабе времени или при других значениях параметров и переменных). Хотя реальное моделирование следует признать наиболее адекватным, его возможности весьма ограничены из-за естественных ограничений со стороны реальных объектов. Так, например, проведение реального моделирования сложной автоматизированной системы управления технологическими процессами (АСУТП) потребовало бы, прежде всего создания такой системы, а затем проведения экспериментов с управляемыми объектами, т.е. с технологическими процессами, что в большинстве случаев невозможно в условиях реальных действующих предприятий и в любом случае дорого.

Натурные модели подразумевают использование при исследовании реальных объектов с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. Такие разновидности натурного эксперимента, как производственный эксперимент и комплексные испытания , обладают высокой степенью достоверности. При производственном эксперименте натурное моделирование включает обобщение опыта, накопленного в ходе производственного процесса за счет обработки на базе теории подобия статистического материала по данному процессу и получения его обобщенных характеристик. При комплексных испытаниях повторение испытаний изделий позволяют выявить общие закономерности этих изделий, на основании которых можно судить об их надежности, качестве и других характеристиках.

Научный эксперимент отличается широким использованием средств автоматизации при проведении эксперимента, разнообразием средств обработки информации и возможностью вмешательства человека в этот процесс.

К реальным моделям относят также и физические модели , которые отличаются от натурных тем, что они применяются в исследовательских установках, сохраняющих природу явлений, и обладают физическим подобием. В процессе задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях со стороны внешней среды. Физическое моделирование может происходить как в реальном, так и в нереальном масштабе времени, а также и вообще без учета времени («замороженные» процессы).

Вопросы для самостоятельной проработки к разделу 1.5.

Чем отличаются прагматические модели от познавательных?

Что именно зависит от времени в динамических моделях?

Как получить статическую характеристику из дифференциального уравнения?

При каких условиях можно перейти от стохастической модели к детерминированной?

Что свидетельствует о нелинейности модели в виде дифференциального уравнения?

Что свидетельствует о нелинейности модели в виде статической характеристики?

Какие трудности возникают в связи с использованием нелинейных моделей?

Какие преимущества дает использование нелинейных моделей?

Какие трудности возникают в связи с использованием нестационарных моделей?

Какие преимущества дает использование нестационарных моделей?

Когда целесообразно использовать распределенные модели?


источники:

http://pandia.ru/text/78/121/88311-2.php

http://gigabaza.ru/doc/91424-p3.html