Манжиров методы решения интегральных уравнений

Методы решения интегральных уравнений: Справочник — Манжиров А.В., Полянин А.Д.

Название: Методы решения интегральных уравнений: Справочник

Автор: Манжиров А.В., Полянин А.Д.

В книге излагаются точные, приближенные аналитические и численные методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений. Помимо классических методов описаны также некоторые новые методы. Для лучшего понимания рассмотренных методов во всех разделах книги даны примеры решения конкретных уравнений. Приведены некоторые точные и асимптотические решения интегральных уравнений, встречающихся в приложениях (в механике и физике).

Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук.

Оглавление
Предисловие 9
1. Основные определения и формулы. Интегральные преобразования 10
1.1. Предварительные замечания 10
1.1-1. Некоторые определения 10
1.1-2. Структура решений линейных интегральных уравнений 11
1.1-3. Интегральные преобразования 12
1.1-4. Вычеты. Формулы для вычислений 12
1.1-5. Лемма Жордана 13
1.2. Преобразование Лапласа 14
1.2-1. Определение. Формула обращения 14
1.2-2. Обращение рациональных функций 15
1.2-3. Теорема о свертке для преобразования Лапласа 15
1.2-4. Предельные теоремы 15
1.2-5. Основные свойства преобразования Лапласа 16
1.2-6. Формула Поста-Уиддера 16
1.3. Преобразование Меллина 17
1.3-1. Определение. Формула обращения 17
1.3-2. Основные свойства преобразования Меллина 17
1.3-3. Связь преобразований Меллина, Лапласа и Фурье 18
1.4. Преобразование Фурье 18
1.4-1. Определение. Формула обращения 18
1.4-2. Несимметричная форма преобразования 19
1.4-3. Альтернативное преобразование Фурье 19
1.4-4. Теорема о свертке для преобразования Фурье 20
1.5. Синус- и косинус-преобразования Фурье 20
1.5-1. Косинус-преобразование Фурье 20
1.5-2. Синус-преобразование Фурье 21
1.6. Другие интегральные преобразования 21
1.6-1. Преобразование Ханкеля 21
1.6-2. Преобразование Мейера 22
1.6-3. Преобразование Конторовича-Лебедева 22
1.6-4. У-преобразование и другие преобразования 22
2. Методы решения линейных уравнений вида ∫f£ K(x,t)y(t)dt = f(x) . 25
2.1. Уравнения Вольтерра первого рода 25
2.1-1. Структура уравнений. Классы функций и ядер 25
2.1-2. Существование и единственность решения 26
2.2. Уравнения с вырожденным ядром: K(x,t) = g1(x)h1(t) + • • • 4- 9n(x)^n(^) 26
2.2-1. Уравнения с ядром K(x,t) = g1(x)h1(t) 4- #2(Ж)^2М 26
2.2-2. Уравнения с вырожденным ядром общего вида 27
2.3. Сведение уравнений Вольтерра первого рода к уравнениям Вольтерра второго рода 28
2.3-1. Первый способ 28
2.3-2. Второй способ 28
2.4. Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t) 29
2.4-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа 29
2.4-2. Случай рационального образа решения 30
2.4-3. Представление решения в виде композиции 30
2.4-4. Использование вспомогательного уравнения 31
2.4-5. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 32
2.4-6. Связь уравнений Вольтерра и Винера-Хопфа 33
2.5. Метод дробного дифференцирования 33
2.5-1. Определение дробных интегралов 33
2.5-2. Определение дробных производных 34
2.5-3. Основные свойства 35
2.5-4. Решение обобщенного уравнения Абеля 35
2.6. Уравнения с ядрами, имеющими слабую особенность 36
2.6-1. Метод преобразования ядра 36
2.6-2. Ядро с логарифмической особенностью 37
2.7. Метод квадратур 38
2.7-1. Квадратурные формулы 38
2.7-2. Общая схема метода 39
2.7-3. Алгоритм на основе формулы трапеций 40
2.7-4. Алгоритм для уравнения с вырожденным ядром 40
2.8. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования 41
2.8-1. Уравнение с переменным нижним пределом интегрирования 41
2.8-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа первого рода 42
3. Методы решения линейных уравнений вида у(х) — J^ K(x, t)y(t) dt= f (х) 43
3.1. Интегральные уравнения Вольтерра второго рода 43
3.1-1. Предварительные замечания. Уравнения для резольвенты 43
3.1-2. Связь между решениями интегральных уравнений 44
3.2. Уравнения с вырожденным ядром: К(х, t) = g1(x)h1(t) + 4- 9n(x)^n(^) 44
3.2-1. Уравнения с ядром К(х, t) = ip(x) 4- ip(x)(x — t) 44
3.2-2. Уравнения с ядром К(х, t) = (p(t) 4- ip(t)(t — х) 45
3.2-3. Уравнения с ядром K(x,t) = J2m=i ^Рт(х)(х

£)m_1 46
3.2-4. Уравнения с ядром К(х, t) = E™=i

3.2-5. Уравнения с вырожденным ядром общего вида 47
3.3. Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t) 48
3.3-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа 48
3.3-2. Метод, основанный на решении вспомогательного уравнения 50
3.3-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 50
3.3-4. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода 51
3.3-5. Метод дробного интегрирования для уравнения Абеля 51
3.3-6. Системы интегральных уравнений Вольтерра 53
3.4. Операторные методы решения линейных интегральных уравнений 53
3.4-1. Использование решения «укороченного» уравнения 53
3.4-2. Использование вспомогательного уравнения второго рода 54
3.4-3. Метод решения «квадратных» операторных уравнений 56
3.4-4. Решение операторных уравнений полиномиального вида 57
3.4-5. Некоторые обобщения 58
3.5. Построение решений уравнений со специальной правой частью 58
3.5-1. Общая схема 58
3.5-2. Порождающая функция экспоненциального вида 59
3.5-3. Порождающая функция степенного вида 61
3.5-4. Порождающая функция, содержащая синусы или косинусы 62
3.6. Метод модельных решений 63
3.6-1. Предварительные замечания 63
3.6-2. Описание метода 64
3.6-3. Модельное решение для экспоненциальной правой части 64
3.6-4. Модельное решение для степенной правой части 66
3.6-5. Модельное решение для синусоидальной правой части 67
3.6-6. Модельное решение для косинусоидальной правой части 67
3.6-7. Некоторые обобщения 67
3.7. Метод дифференцирования интегральных уравнений 68
3.7-1. Ядро содержит сумму экспонент 68
3.7-2. Ядро содержит сумму гиперболических функций 69
3.7-3. Ядро содержит сумму тригонометрических функций 70
3.7-4. Ядро содержит комбинации различных функций 71
3.8. Сведение уравнений Вольтерра второго рода к уравнениям Вольтерра первого рода 71
3.8-1. Первый способ 72
3.8-2. Второй способ 72
3.9. Метод последовательных приближений 72
3.9-1. Общая схема 72
3.9-2. Формула для резольвенты 73
3.10. Метод квадратур 74
3.10-1. Общая схема метода 74
3.10-2. Применение формулы трапеций 75
3.10-3. Случай вырожденного ядра 75
3.11. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования 75
3.11-1. Случай переменного нижнего предела интегрирования 76
3.11-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода 77
4. Методы решения линейных уравнений вида Ja К(ж, t)y(t) dt = f (ж) . 78
4.1. Предварительные замечания 78
4.1-1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода 78
4.1-2. Интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью 78
4.1-3. Интегральные уравнения типа свертки 79
4.1-4. Парные интегральные уравнения первого рода 80
4.2. Метод Крейна 80
4.2-1. Основное и вспомогательное уравнения 80
4.2-2. Решение основного уравнения 81
4.3. Метод интегральных преобразований 82
4.3-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси 82
4.3-2. Уравнения с ядром K(x,t) = K(x/t) на полуоси 82
4.3-3. Уравнение с ядром K(x,t) = K(xt) и его обобщения 82
4.4. Задача Римана для действительной оси 83
4.4-1. Связь интеграла Фурье с интегралом типа Коши 84
4.4-2. Односторонние интегралы Фурье 85
4.4-3. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля 86
4.4-4. Краевая задача Римана 87
4.4-5. Задача Римана с рациональными коэффициентами 93
4.4-6. Исключительные случаи. Однородная задача 94
4.4-7. Исключительные случаи. Неоднородная задача 96
4.5. Метод Карлемана для уравнений типа свертки первого рода 99
4.5-1. Уравнение Винера-Хопфа первого рода 99
4.5-2. Интегральные уравнения с двумя ядрами первого рода 99
4.6. Парные интегральные уравнения первого рода 102
4.6-1. Метод Карлемана для уравнения с разностными ядрами 102
4.6-2. Точные решения некоторых парных уравнений первого рода 104
4.6-3. Приведение парных уравнений к уравнению Фредгольма 105
4.7. Асимптотические методы решения уравнений с логарифмической особенностью 109
4.7-1. Предварительные замечания 109
4.7-2. Решение при больших значениях характерного параметра 109
4.7-3. Решение при малых значениях характерного параметра ПО
4.7-4. Интегральные уравнения теории упругости 112
4.8. Методы регуляризации 112
4.8-1. Метод регуляризации Лаврентьева 112
4.8-2. Метод регуляризации Тихонова 113
5. Методы решения линейных уравнений вида у(х) —Ja K(x, t)y(t) dt= f(x) 114
5.1. Предварительные замечания 114
5.1-1. Уравнения Фредгольма и уравнения со слабой особенностью 114
5.1-2. Структура решений 115
5.1-3. Интегральные уравнения типа свертки второго рода 115
5.1-4. Парные интегральные уравнения второго рода 115
5.2. Уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром 116
5.2-1. Простейшее вырожденное ядро 116
5.2-2. Вырожденное ядро в общем случае 117
5.3. Решение в виде ряда по степеням параметра. Метод последовательных приближений 120
5.3-1. Итерированные ядра 120
5.3-2. Метод последовательных приближений 120
5.3-3. Построение резольвенты 121
5.3-4. Ортогональные ядра 122
5.4. Метод определителей Фредгольма 123
5.4-1. Формула для резольвенты 123
5.4-2. Рекуррентные соотношения 124
5.5. Теоремы и альтернатива Фредгольма 125
5.5-1. Теоремы Фредгольма 125
5.5-2. Альтернатива Фредгольма 125
5.6. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с симметричными ядрами . 125
5.6-1. Характеристические числа и собственные функции 125
5.6-2. Билинейный ряд 127
5.6-3. Теорема Гильберта-Шмидта 128
5.6-4. Билинейные ряды итерированных ядер 128
5.6-5. Решение неоднородного уравнения 129
5.6-6. Альтернатива Фредгольма для симметричных уравнений 130
5.6-7. Резольвента симметричного ядра 130
5.6-8. Экстремальные свойства характеристических чисел 131
5.6-9. Интегральные уравнения, приводимые к симметричным 131
5.6-10. Кососимметричное интегральное уравнение 132
5.7. Операторный метод решения интегральных уравнений второго рода 132
5.7-1. Простейшая схема 132
5.7-2. Решение уравнений второго рода на полуоси 132
5.8. Метод интегральных преобразований и метод модельных решений 133
5.8-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси 133
5.8-2. Уравнение с ядром K(x,t) = t

1Q(x/t) на полуоси 135
5.8-3. Уравнение с ядром K(x,t) = tf3Q(xt) на полуоси 136
5.8-4. Метод модельных решений для уравнений на всей оси 137
5.9. Метод Карлемана для интегральных уравнений типа свертки второго рода . 137
5.9-1. Уравнение Винера-Хопфа второго рода 137
5.9-2. Интегральное уравнение второго рода с двумя ядрами 141
5.9-3. Уравнения типа свертки с переменным пределом интегрирования 146
5.9-4. Парное уравнение типа свертки второго рода 148
5.10. Метод Винера-Хопфа 149
5.10-1. Некоторые замечания 149
5.10-2. Однородное уравнение Винера-Хопфа второго рода 151
5.10-3. Общая схема метода. Проблема факторизации 154
5.10-4. Неоднородное уравнение Винера-Хопфа второго рода 156
5.10-5. Исключительный случай уравнения Винера-Хопфа второго рода 157
5.11. Метод Крейна для уравнения Винера-Хопфа 158
5.11-1. Некоторые замечания. Проблема факторизации 158
5.11-2. Решение уравнения Винера-Хопфа второго рода 159
5.11-3. Формула Хопфа-Фока 161
5.12. Методы решения уравнений с разностным ядром на конечном отрезке 162
5.12-1. Метод Крейна 162
5.12-2. Ядра с рациональными преобразованиями Фурье 163
5.12-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 164
5.13. Метод замены ядра вырожденным 166
5.13-1. Аппроксимация ядра 166
5.13-2. Приближенное решение 167
5.14. Метод Бейтмена 168
5.14-1. Общая схема метода 168
5.14-2. Некоторые частные случаи 169
5.15. Метод коллокации 171
5.15-1. Общие замечания 171
5.15-2. Приближенное решение 172
5.15-3. Собственные функции уравнения 173
5.16. Метод наименьших квадратов 174
5.16-1. Описание метода 174
5.16-2. Построение собственных функций 175
5.17. Метод Бубнова-Галеркина 176
5.17-1. Описание метода 176
5.17-2. Характеристические числа уравнения 176
5.18. Метод квадратур 178
5.18-1. Общая схема для уравнений Фредгольма второго рода 178
5.18-2. Построение собственных функций 179
5.18-3. Особенности применения квадратурных формул 179
5.19. Системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода 180
5.19-1. Некоторые замечания 180
5.19-2. Метод преобразования системы уравнений в одно уравнение 181
5.20. Метод регуляризации для некоторых уравнений второго рода 181
5.20-1. Основное уравнение и теоремы Нетера 181
5.20-2. Регуляризующие операторы 182
5.20-3. Метод регуляризации 183
6. Методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода . 185
6.1. Предварительные замечания 185
6.1-1. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши 185
6.1-2. Интегральные уравнения первого рода с ядром Гильберта 185
6.2. Интеграл типа Коши 186
6.2-1. Определение интеграла типа Коши 186
6.2-2. Условие Гёльдера 187
6.2-3. Главное значение сингулярного интеграла 187
6.2-4. Многозначные функции 189
6.2-5. Главное значение сингулярного криволинейного интеграла 190
6.2-6. Формула перестановки Пуанкаре-Бертрана 192
6.3. Краевая задача Римана 192
6.3-1. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля 192
6.3-2. Интерполяционный полином Эрмита 194
6.3-3. Понятие индекса 194
6.3-4. Постановка задачи Римана 196
6.3-5. Решение однородной задачи 198
6.3-6. Решение неоднородной задачи 199
6.3-7. Задача Римана с рациональными коэффициентами 201
6.3-8. Задача Римана для действительной оси 204
6.3-9. Исключительные случаи задачи Римана 206
6.3-10. Задача Римана для многосвязной области 210
6.3-11. Случаи разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров 213
6.3-12. Краевая задача Гильберта 213
6.4. Сингулярные интегральные уравнения первого рода 214
6.4-1. Простейшее уравнение с ядром Коши 214
6.4-2. Уравнение с ядром Коши на действительной оси 214
6.4-3. Уравнение первого рода на конечном отрезке 215
6.4-4. Общее уравнение первого рода с ядром Коши 216
6.4-5. Уравнения первого рода с ядром Гильберта 217
6.5. Метод Мультоппа-Каландия 218
6.5-1. Решение, не ограниченное на концах отрезка 218
6.5-2. Решение, ограниченное на одном конце отрезка 220
6.5-3. Решение, ограниченное на обоих концах отрезка 221
7. Методы решения полных сингулярных интегральных уравнений 222
7.1. Некоторые замечания 222
7.1-1. Интегральные уравнения с ядром Коши 222
7.1-2. Интегральные уравнения с ядром Гильберта 223
7.1-3. Об уравнениях Фредгольма второго рода на контуре 224
7.2. Метод Карлемана для характеристических уравнений 226
7.2-1. Характеристическое уравнение с ядром Коши 226
7.2-2. Уравнение, союзное с характеристическим 229
7.2-3. Характеристическое уравнение на действительной оси 230
7.2-4. Исключительный случай характеристического уравнения 232
7.2-5. Характеристическое уравнение с ядром Гильберта 234
7.2-6. Уравнение Трикоми 234
7.3. Полные сингулярные интегральные уравнения, разрешаемые в замкнутой форме 235
7.3-1. Замкнутое решение при постоянных коэффициентах 235
7.3-2. Замкнутое решение в общем случае 236
7.4. Метод регуляризации для полных сингулярных интегральных уравнений . 238
7.4-1. Некоторые свойства сингулярных операторов 238
7.4-2. Регуляризующий оператор 240
7.4-3. Способы регуляризации слева и справа 241
7.4-4. Проблема равносильной регуляризации 242
7.4-5. Теоремы Нётера 243
7.4-6. Способ регуляризации Карлемана-Векуа 244
7.4-7. Регуляризация в исключительных случаях 246
7.4-8. Полное уравнение с ядром Гильберта 246
8. Методы решения нелинейных интегральных уравнений 250
8.1. Некоторые определения и замечания 250
8.1-1. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра 250
8.1-2. Нелинейные уравнения с постоянными пределами интегрирования . 251
8.2. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра 252
8.2-1. Метод интегральных преобразований 252
8.2-2. Метод дифференцирования интегральных уравнений 253
8.2-3. Метод последовательных приближений 254
8.2-4. Метод Ньютона-Канторовича 256
8.2-5. Метод коллокации 258
8.2-6. Метод квадратур 258
8.3. Уравнения с постоянными пределами интегрирования 260
8.3-1. Нелинейные уравнения с вырожденными ядрами 260
8.3-2. Метод интегральных преобразований 262
8.3-3. Метод дифференцирования интегральных уравнений 263
8.3-4. Метод последовательных приближений 264
8.3-5. Метод Ньютона-Канторовича 264
8.3-6. Метод квадратур 267
8.3-7. Метод регуляризации Тихонова 267
Список литературы 269

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Методы решения интегральных уравнений: Справочник — Манжиров А.В., Полянин А.Д. — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. Манжиров А.В., Полянин А.Д.

М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2000. — 384с.

В книге излагаются точные, приближенные аналитические и численные методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений. Помимо классических методов описаны также некоторые новые методы. Для лучшего понимания рассмотренных методов во всех разделах книги даны примеры решения конкретных уравнений. Приведены точные и асимптотические решения интегральных уравнений, встречающихся в различных областях механики и физики.

Приложения содержат таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также таблицы интегральных преобразований Лапласа, Меллина и др.

Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук.

Формат: djvu / zip

Скачать / Download файл

1. Основные определения и формулы. Интегральные преобразования . . 14

1.1. Некоторые определения, замечания и формулы . . 14

1.1-1. Некоторые определения. . 14

1.1-2. Структура решений линейных интегральных уравнений . . 15

1.1-3. Интегральные преобразования . . 16

1.1-4. Вычеты. Формулы для вычислений . . 16

1.1-5. Лемма Жордана. . 18

1.2. Преобразование Лапласа. . 18

1.2-1. Определение. Формула обращения. . 18

1.2-2. Обращение рациональных функций. . 19

1.2-3. Представление оригиналов в виде ряда. . 19

1.2-4. Теорема о свертке для преобразования Лапласа. . 19

1.2-5. Предельные теоремы . . 20

1.2-6. Основные свойства преобразования Лапласа. . 20

1.2-7. Формула Поста-Уиддера. . 20

1.3. Преобразование Меллина. . 21

1.3-1. Определение. Формула обращения. . 21

1.3-2. Основные свойства преобразования Меллина . . 22

1.3-3. Связь преобразований Меллина, Лапласа и Фурье . . 22

1.4. Преобразование Фурье . . 22

1.4-1. Определение. Формула обращения. . 22

1.4-2. Несимметричная форма преобразования. . 23

1.4-3. Альтернативное преобразование Фурье. . 23

1.4-4. Теорема о свертке для преобразования Фурье . . 24

1.5. Синус- и косинус-преобразования Фурье. . 24

1.5-1. Косинус-преобразование Фурье . . 24

1.5-2. Синус-преобразование Фурье . . 25

1.6. Другие интегральные преобразования . . 25

1.6-1. Преобразование Ханкеля. . 25

1.6-2. Преобразование Мейера. . 26

1.6-3. Преобразование Конторовича-Лебедева. . 26

1.6-4. F -преобразование и другие преобразования. . 26

2. Методы решения линейных уравнений вида J K ( x , t ) y ( t ) dt = f ( x ) . . 28

2.1. Уравнения Вольтерра первого рода. . 28

2.1-1. Структура уравнений. Классы функций и ядер . . 28

2.1-2. Существование и единственность решения. . 29

2.2. Уравнения с вырожденным ядром: К(х, t ) = g 1 ( x ) h 1 ( t ) + • • • + gn ( x ) hn ( t ) 29

2.2-2. Уравнения с вырожденным ядром общего вида. . 30

2.3. Сведение уравнений Вольтерра первого рода к уравнениям Вольтерра

второго рода. 31

2.3-1. Первый способ. . 31

2.3-2. Второй способ. . 31

2.4. Уравнения с разностным ядром: К(х, t ) = К(х — t ) . . 32

2.4-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа. . 32

2.4-2. Случай рационального образа решения. . 32

2.4-3. Представление решения в виде композиции. . 33

2.4-4. Использование вспомогательного уравнения . . 34

2.4-5. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям. . 34

2.4-6. Связь уравнений Вольтерра и Винера-Хопфа . . 35

2.5. Метод дробного дифференцирования. . 35

2.5-1. Определение дробных интегралов . . 35

2.5-2. Определение дробных производных . . 36

2.5-3. Основные свойства. . 37

2.5-4. Решение обобщенного уравнения Абеля. . 38

2.6. Уравнения с ядрами, имеющими слабую особенность. . 38

2.6-1. Метод преобразования ядра . . 38

2.6-2. Ядро с логарифмической особенностью . . 39

2.7. Метод квадратур . . 40

2.7-1. Квадратурные формулы. . 40

2.7-2. Общая схема метода. . 41

2.7-3. Алгоритм на основе формулы трапеций . . 42

2.7-4. Алгоритм для уравнения с вырожденным ядром. . 43

2.8. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования . . 43

2.8-1. Уравнение с переменным нижним пределом интегрирования. . 43

2.8-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа первого рода . . 44

3. Методы решения линейных уравнений вида

3.1. Интегральные уравнения Вольтерра второго рода . . 45

3.1-1. Предварительные замечания. Уравнения для резольвенты. . 45

3.1-2. Связь между решениями интегральных уравнений. . 46

3.2. Уравнения с вырожденным ядром: К(х, t ) = g 1 ( x ) h 1 ( t ) + • • • + gn ( x ) hn ( t ) 46

3.2-2. Уравнения с ядром К(х, t ) = cp ( t ) + ijj ( t )( t — х) . . 47

3.2-3. Уравнения с ядром К(х, t ) = X ! m = i ^ m ( x )( x — £) т-1 . . 48

3.2-4. Уравнения с ядром К(х, t ) = YJL = i ж ) т_1 . . 48

3.2-5. Уравнения с вырожденным ядром общего вида. . 49

3.3. Уравнения с разностным ядром: К(х, t ) = К(х — t ) . . 50

3.3-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа. . 50

3.3-2. Метод, основанный на решении вспомогательного уравнения . . 51

3.3-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям. . 52

3.3-4. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода . . 53

3.3-5. Метод дробного интегрирования для уравнения Абеля . . 53

3.3-6. Системы интегральных уравнений Вольтерра . . 54

3.4. Операторные методы решения линейных интегральных уравнений . . 55

3.4-1. Использование решения «укороченного»уравнения . . 55

3.4-2. Использование вспомогательного уравнения второго рода . . 56

3.4-3. Метод решения «квадратных»операторных уравнений. . 57

3.4-4. Решение операторных уравнений полиномиального вида . . 58

3.4-5. Некоторые обобщения . . 59

3.5. Построение решений уравнений со специальной правой частью. . 60

3.5-1. Общая схема . . 60

3.5-2. Порождающая функция экспоненциального вида . . 60

3.5-3. Порождающая функция степенного вида . . 62

3.5-4. Порождающая функция, содержащая синусы или косинусы. . 63

3.6. Метод модельных решений . . 64

3.6-1. Предварительные замечания. . 64

3.6-2. Описание метода. . 65

3.6-3. Модельное решение для экспоненциальной правой части . . 65

3.6-4. Модельное решение для степенной правой части . . 67

3.6-5. Модельное решение для синусоидальной правой части. . 67

3.6-6. Модельное решение для косинусоидальной правой части . . 68

3.6-7. Некоторые обобщения . . 68

3.7. Метод дифференцирования интегральных уравнений . . 69

3.7-1. Ядро содержит сумму экспонент . . 69

3.7-2. Ядро содержит сумму гиперболических функций. . 70

3.7-3. Ядро содержит сумму тригонометрических функций. . 70

3.7-4. Ядро содержит комбинации различных функций. . 71

3.8. Сведение уравнений Вольтерра второго рода к уравнениям Вольтерра

первого рода. 72

3.8-1. Первый способ. . 72

3.8-2. Второй способ. . 72

3.9. Метод последовательных приближений. . 72

3.9-1. Общая схема . . 72

3.9-2. Формула для резольвенты . . 73

3.10. Метод квадратур . . 74

3.10-1. Общая схема метода. . 74

3.10-2. Применение формулы трапеций. . 75

3.10-3. Случай вырожденного ядра. . 75

3.11. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования. . 75

3.11-1. Случай переменного нижнего предела интегрирования . . 76

3.11-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода. . 77

4. Методы решения линейных уравнений вида J K ( x , t ) y ( t ) dt = f ( x ) . . 78

4.1. Предварительные замечания. . 78

4.1-1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода. . 78

4.1-2. Интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью . 78

4.1-3. Интегральные уравнения типа свертки . . 79

4.1-4. Парные интегральные уравнения первого рода . . 80

4.2. Метод Крейна. . 80

4.2-1. Основное и вспомогательное уравнения. . 80

4.2-2. Решение основного уравнения . . 81

4.3. Метод интегральных преобразований. . 81

4.3-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси. . 82

4.3-2. Уравнения с ядром К(х, t ) = K < x / t ) на полуоси . . 82

4.3-3. Уравнение с ядром К(х, t ) = K ( xt ) и его обобщения . . 82

4.4. Задача Римана для действительной оси . . 83

4.4-1. Связь интеграла Фурье с интегралом типа Коши. . 83

4.4-2. Односторонние интегралы Фурье. . 84

4.4-3. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля . . 86

4.4-4. Краевая задача Римана. . 87

4.4-5. Задача Римана с рациональными коэффициентами. . 92

4.4-6. Исключительные случаи. Однородная задача. . 93

4.4-7. Исключительные случаи. Неоднородная задача. . 95

4.5. Метод Карлемана для уравнений типа свертки первого рода. . 98

4.5-1. Уравнение Винера-Хопфа первого рода . . 98

4.5-2. Интегральные уравнения с двумя ядрами первого рода. . 99

4.6. Парные интегральные уравнения первого рода. . 101

4.6-1. Метод Карлемана для уравнения с разностными ядрами. . 101

4.6-2. Точные решения некоторых парных уравнений первого рода. . 103

4.6-3. Приведение парных уравнений к уравнению Фредгольма. . 104

4.7. Асимптотические методы решения уравнений с логарифмической

4.7-1. Предварительные замечания. . 108

4.7-2. Решение при больших значениях характерного параметра. . 108

4.7-3. Решение при малых значениях характерного параметра. . 109

4.7-4. Интегральные уравнения теории упругости . . ПО

4.8. Методы регуляризации . . 111

4.8-1. Метод регуляризации Лаврентьева. . 111

4.8-2. Метод регуляризации Тихонова . . 112

5. Методы решения линейных уравнений вида

5.1. Предварительные замечания. . 113

5.1-1. Уравнения Фредгольма и уравнения со слабой особенностью. . 113

5.1-2. Структура решений. . 114

5.1-3. Интегральные уравнения типа свертки второго рода . . 114

5.1-4. Парные интегральные уравнения второго рода . . 114

5.2. Уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. . 115

5.2-1. Простейшее вырожденное ядро . . 115

5.2-2. Вырожденное ядро в общем случае. . 116

5.3. Решение в виде ряда по степеням параметра. Метод последовательных

5.3-1. Итерированные ядра. . 118

5.3-2. Метод последовательных приближений . . 119

5.3-3. Построение резольвенты . 119

5.3-4. Ортогональные ядра. 121

5.4. Метод определителей Фредгольма . 121

5.4-1. Формула для резольвенты . 121

5.4-2. Рекуррентные соотношения. 122

5.5. Теоремы и альтернатива Фредгольма . 123

5.5-1. Теоремы Фредгольма . 123

5.5-2. Альтернатива Фредгольма. 124

5.6. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с симметричными

5.6-1. Характеристические числа и собственные функции . 124

5.6-2. Билинейный ряд . 125

5.6-3. Теорема Гильберта-Шмидта. 126

5.6-4. Билинейные ряды итерированных ядер. 127

5.6-5. Решение неоднородного уравнения . 127

5.6-6. Альтернатива Фредгольма для симметричных уравнений . 129

5.6-7. Резольвента симметричного ядра. 129

5.6-8. Экстремальные свойства характеристических чисел. 129

5.6-9. Интегральные уравнения, приводимые к симметричным. 130

5.6-10. Кососимметричное интегральное уравнение. 130

5.7. Операторный метод решения интегральных уравнений второго рода. 131

5.7-1. Простейшая схема. 131

5.7-2. Решение уравнений второго рода на полуоси. 131

5.8. Метод интегральных преобразований и метод модельных решений. 132

5.8-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси. 132

5.8-2. Уравнение с ядром К(х, t ) = t

1 Q < x / t ) на полуоси. 133

5.8-3. Уравнение с ядром К(х, t ) = t l 3 Q < xt ) на полуоси. 134

5.8-4. Метод модельных решений для уравнений на всей оси . 135

5.9. Метод Карлемана для интегральных уравнений типа свертки второго рода . 136

5.9-1. Уравнение Винера-Хопфа второго рода . 136

5.9-2. Интегральное уравнение второго рода с двумя ядрами. 140

5.9-3. Уравнения типа свертки с переменным пределом интегрирования . 143

5.9-4. Парное уравнение типа свертки второго рода . 146

5.10. Метод Винера-Хопфа . 147

5.10-1. Некоторые замечания. 147

5.10-2. Однородное уравнение Винера-Хопфа второго рода . 149

5.10-3. Общая схема метода. Проблема факторизации. 152

5.10-4. Неоднородное уравнение Винера-Хопфа второго рода. 153

5.10-5. Исключительный случай уравнения Винера-Хопфа второго рода . . 154

5.11. Метод Крейна для уравнения Винера-Хопфа . 155

5.11-1. Некоторые замечания. Проблема факторизации. 155

5.11-2. Решение уравнения Винера-Хопфа второго рода . 157

5.11-3. Формула Хопфа-Фока . 159

5.12. Методы решения уравнений с разностным ядром на конечном отрезке . 159

5.12-1. Метод Крейна . 159

5.12-2. Ядра с рациональными преобразованиями Фурье . 161

5.12-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям. 162

5.13. Метод замены ядра вырожденным . 163

5.13-1. Аппроксимация ядра . 163

5.13-2. Приближенное решение. 164

5.14. Метод Бейтмена. 165

5.14-1. Общая схема метода. 165

5.14-2. Некоторые частные случаи . 166

5.15. Метод коллокации. 168

5.15-1. Общие замечания . 168

5.15-2. Приближенное решение. 169

5.15-3. Собственные функции уравнения. 170

5.16. Метод наименьших квадратов . 170

5.16-1. Описание метода. 170

5.16-2. Построение собственных функций. 171

5.17. Метод Бубнова-Галеркина. 172

5.17-1. Описание метода. 172

5.17-2. Характеристические числа уравнения . 173

5.18. Метод квадратур . 174

5.18-1. Общая схема для уравнений Фредгольма второго рода . 174

5.18-2. Построение собственных функций. 175

5.18-3. Особенности применения квадратурных формул. 175

5.19. Системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. 177

5.19-1. Некоторые замечания. 177

5.19-2. Метод преобразования системы уравнений в одно уравнение. 177

5.20. Метод регуляризации для некоторых уравнений второго рода. 178

5.20-1. Основное уравнение и теоремы Нетера. 178

5.20-2. Регуляризующие операторы . 179

5.20-3. Метод регуляризации. 180

6. Методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода . . 182

6.1. Предварительные замечания. 182

6.1-1. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши . 182

6.1-2. Интегральные уравнения первого рода с ядром Гильберта . 182

6.2. Интеграл типа Коши . 183

6.2-1. Определение интеграла типа Коши . 183

6.2-2. Условие Гёльдера . 184

6.2-3. Главное значение сингулярного интеграла . 184

6.2-4. Многозначные функции. 185

6.2-5. Главное значение сингулярного криволинейного интеграла. 187

6.2-6. Формула перестановки Пуанкаре-Бертрана . 188

6.3. Краевая задача Римана . 189

6.3-1. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля . 189

6.3-2. Интерполяционный полином Эрмита. 191

6.3-3. Понятие индекса. 191

6.3-4. Постановка задачи Римана. 193

6.3-5. Решение однородной задачи . 195

6.3-6. Решение неоднородной задачи . 196

6.3-7. Задача Римана с рациональными коэффициентами. 198

6.3-8. Задача Римана для действительной оси. 200

6.3-9. Исключительные случаи задачи Римана . 202

6.3-10. Задача Римана для многосвязной области. 206

6.3-11. Случаи разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров. 209

6.3-12. Краевая задача Гильберта . 210

6.4. Сингулярные интегральные уравнения первого рода. 210

6.4-1. Простейшее уравнение с ядром Коши. 210

6.4-2. Уравнение с ядром Коши на действительной оси . 211

6.4-3. Уравнение первого рода на конечном отрезке . 211

6.4-4. Общее уравнение первого рода с ядром Коши. 212

6.4-5. Уравнения первого рода с ядром Гильберта. 213

6.5. Метод Мультоппа-Каландия . 214

6.5-1. Решение, не ограниченное на концах отрезка. 215

6.5-2. Решение, ограниченное на одном конце отрезка . 216

6.5-3. Решение, ограниченное на обоих концах отрезка . 217

7. Методы решения полных сингулярных интегральных уравнений . 218

7.1. Некоторые замечания . 218

7.1-1. Интегральные уравнения с ядром Коши . 218

7.1-2. Интегральные уравнения с ядром Гильберта . 219

7.1-3. Об уравнениях Фредгольма второго рода на контуре. 220

7.2. Метод Карлемана для характеристических уравнений. 222

7.2-1. Характеристическое уравнение с ядром Коши. 222

7.2-2. Уравнение, союзное с характеристическим. 225

7.2-3. Характеристическое уравнение на действительной оси . 226

7.2-4. Исключительный случай характеристического уравнения . 227

7.2-5. Характеристическое уравнение с ядром Гильберта. 229

7.2-6. Уравнение Трикоми . 230

7.3. Полные сингулярные интегральные уравнения, разрешаемые в замкнутой

7.3-1. Замкнутое решение при постоянных коэффициентах . 231

7.3-2. Замкнутое решение в общем случае. 232

7.4. Метод регуляризации для полных сингулярных интегральных уравнений . . 233

7.4-1. Некоторые свойства сингулярных операторов . 233

7.4-2. Регуляризующий оператор. 235

7.4-3. Способы регуляризации слева и справа. 236

7.4-4. Проблема равносильной регуляризации . 237

7.4-5. Теоремы Нётера. 238

7.4-6. Способ регуляризации Карлемана-Векуа . 239

7.4-7. Регуляризация в исключительных случаях . 240

7.4-8. Полное уравнение с ядром Гильберта . 241

8. Методы решения нелинейных интегральных уравнений . 244

8.1. Некоторые определения и замечания . 244

8.1-1. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра. 244

8.1-2. Нелинейные уравнения с постоянными пределами интегрирования . . 245

8.2. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра. 246

8.2-1. Метод интегральных преобразований . 246

8.2-2. Метод дифференцирования интегральных уравнений. 247

8.2-3. Метод последовательных приближений . 248

8.2-4. Метод Ньютона-Канторовича. 250

8.2-5. Метод коллокации. 251

8.2-6. Метод квадратур. 252

8.3. Уравнения с постоянными пределами интегрирования . 253

8.3-1. Нелинейные уравнения с вырожденными ядрами . 253

8.3-2. Метод интегральных преобразований . 255

8.3-3. Метод дифференцирования интегральных уравнений. 256

8.3-4. Метод последовательных приближений . 257

8.3-5. Метод Ньютона-Канторовича. 258

8.3-6. Метод квадратур. 260

8.3-7. Метод регуляризации Тихонова . 261

9. Интегральные операторы . 262

9.1. Линейные операторы в нормированных пространствах. 262

9.1-1. Интегральные уравнения и интегральные операторы . 262

9.1-2. Нормированные и евклидовы пространства . 263

9.1-3. Линейные операторы в нормированных пространствах . 264

9.1-4. Резольвента, спектр и корневые подпространства. 265

9.1-5. Компактные линейные операторы и их свойства. 266

9.2. Линейные операторы в евклидовых пространствах . 268

9.2-1. Самосопряженные операторы. 268

9.2-2. Самосопряженные компактные операторы. 269

9.3. Интегральные операторы. Условия непрерывности и компактности . 271

9.3-1. Условия непрерывности интегральных операторов. 271

9.3-2. Условия компактности интегральных операторов . 272

9.4. Сингулярные интегральные операторы. 274

9.4-1. Сингулярные операторы Гильберта и Коши. 274

9.4-2. Пространства ВМО и VMO . 275

9.4-3. Условия ограниченности и компактности сингулярных операторов . . 276

Приложение 1. Элементарные функции и их свойства . 278

1.1. Тригонометрические функции . 278

1.2. Гиперболические функции . 280

1.3. Обратные тригонометрические функции . 282

1.4. Обратные гиперболические функции . 284

Приложение 2. Таблицы неопределенных интегралов . . 285

2.1. Интегралы, содержащие рациональные функции . . 285

2.2. Интегралы, содержащие иррациональные функции . . 289

2.3. Интегралы, содержащие показательные функции. . 291

2.4. Интегралы, содержащие гиперболические функции. . 291

2.5. Интегралы, содержащие логарифмические функции . . 294

2.6. Интегралы, содержащие тригонометрические функции. . 295

2.7. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции. . 299

Приложение 3. Таблицы определенных интегралов . . 300

3.1. Интегралы, содержащие алгебраические функции . . 300

3.2. Интегралы, содержащие экспоненциальные функции . . 302

3.3. Интегралы, содержащие гиперболические функции. . 303

3.4. Интегралы, содержащие логарифмические функции . . 304

3.5. Интегралы, содержащие тригонометрические функции. . 304

Приложение 4. Таблицы прямых преобразований Лапласа . . 307

4.1. Общие формулы. . 307

4.2. Оригинал содержит степенные функции . . 309

4.3. Оригинал содержит показательные функции. . 309

4.4. Оригинал содержит гиперболические функции. . 310

4.5. Оригинал содержит логарифмические функции . . 311

4.6. Оригинал содержит тригонометрические функции. . 312

4.7. Оригинал содержит специальные функции . . 313

Приложение 5 Таблицы обратных преобразований Лапласа . . 315

5.1. Общие формулы. . 315

5.2. Образ содержит рациональные функции . . 317

5.3. Образ содержит квадратные корни . . 321

5.4. Образ содержит степени с произвольными показателями. . 323

5.5. Образ содержит показательные функции. . 324

5.6. Образ содержит гиперболические функции. . 325

5.7. Образ содержит логарифмические функции . . 326

5.8. Образ содержит тригонометрические функции. . 327

5.9. Образ содержит специальные функции . . 327

Приложение 6. Таблицы косинус-преобразований Фурье . . 329

6.1. Общие формулы. . 329

6.2. Оригинал содержит степенные функции . . 329

6.3. Оригинал содержит показательные функции. . 330

6.4. Оригинал содержит гиперболические функции. . 331

6.5. Оригинал содержит логарифмические функции . . 331

6.6. Оригинал содержит тригонометрические функции. . 332

6.7. Оригинал содержит специальные функции . . 333

Приложение 7. Таблицы синус-преобразований Фурье . 335

7.1. Общие формулы. 335

7.2. Оригинал содержит степенные функции . 335

7.3. Оригинал содержит показательные функции. 336

7.4. Оригинал содержит гиперболические функции. 337

7.5. Оригинал содержит логарифмические функции . 338

7.6. Оригинал содержит тригонометрические функции. 338

7.7. Оригинал содержит специальные функции . 339

Приложение 8. Таблицы прямых преобразований Меллина . 342

8.1. Общие формулы. 342

8.2. Оригинал содержит степенные функции . 343

8.3. Оригинал содержит показательные функции. 343

8.4. Оригинал содержит логарифмические функции . 344

8.5. Оригинал содержит тригонометрические функции. 344

8.6. Оригинал содержит специальные функции . 345

Приложение 9. Таблицы обратных преобразований Меллина . 346

9.1. Изображение содержит степенные функции . 346

9.2. Изображение содержит показательные и логарифмические функции . 347

9.3. Изображение содержит тригонометрические функции. 348

9.4. Изображение содержит специальные функции . 349

Приложение 10. Специальные функции и их свойства . 352

10.1. Некоторые символы и коэффициенты. 352

10.2. Интеграл вероятностей и интегральная показательная функция. 353

10.3. Интегральный синус и интегральный косинус. Интегралы Френеля. 354

10.4. Гамма-функция. Бета-функция. 355

10.5. Неполные гамма-функции. 357

10.7. Модифицированные функции Бесселя 1и(х) и Kv [ x ) . 361

10.8. Вырожденные гипергеометрические функции. 362

10.9. Гипергеометрические функции . 365

10.10. Функции Лежандра . 367

10.11. Ортогональные многочлены. 369

Список литературы . 372

Предметный указатель . 378

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «

Манжиров методы решения интегральных уравнений

МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Библиотека > Книги по математике > Интегральные уравнения, интегральные преобразования

Интегральные уравнения, интегральные преобразования

  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969 (djvu)
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2. Преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970 (djvu)
  • Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977 (djvu)
  • Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969 (djvu)
  • Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: ГИФМЛ, 1958 (djvu)
  • Гахов Ф.Д. Краевые задачи (2-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1963 (djvu)
  • Гахов Ф.Д. Краевые задачи (3-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)
  • Гурса Э. Курс математического анализа, том 3, часть 2. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. М.-Л.: ГТТИ, 1934 (djvu)
  • Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы (2-е изд.). М.: Наука, 1966 (djvu)
  • Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: ГИФМЛ, 1961 (djvu)
  • Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложения. М.: ГИФМЛ, 1958 (pdf)
  • Краснов М.Л. Интегральные уравнения: введение в теорию. М.: Наука, 1975 (djvu)
  • Краснов М.Л. Киселев А.И. Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968 (djvu)
  • Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966 (djvu)
  • Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956 (djvu)
  • Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО Янус, 1995 (djvu)
  • Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений: Справочник. М.: Факториал, 1999 (djvu)
  • Манжиров А.В., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: Факториал, 2000 (djvu)
  • Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947 (djvu)
  • Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике (2-е изд.). М.: Физматлит, 1962 (djvu)
  • Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике (3-е изд.). М.: Наука, 1968 (djvu)
  • Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений (3-е изд.) М.: Наука, 1965 (djvu)
  • Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. М.: Факториал, 1998 (djvu)
  • Смолянский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов (2-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1963 (djvu)
  • Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука, 1966 (djvu)
  • Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1968 (djvu)

Веб-сайт EqWorld содержит обширную информацию о решениях различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными (уравнений математической физики), интегральных уравнений, функциональных уравнений и других математических уравнений.


источники:

http://go.alleng.org/d/math/math211.htm

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/ie.htm