Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
«Уравнения будут существовать вечно».
Цели урока:
- Образовательные:
- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
- сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
- Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
- формирование умения анализировать поставленную задачу;
- способствовать улучшению психологического климата в классе.
- Развивающие:
- способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
- способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;
Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.
1 урок
I. Актуализация опорных знаний
Устно решить уравнения:
1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx =;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0
1) х = 2к;
2) х = ±+ 2к;
3) х =±+ 2к;
4) х = к;
5) х = (–1)+ к;
6) х = (–1)
7) х =
8) х = + к; к Z.
II. Изучение нового материала
– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).
Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.
Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.
(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)
1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители
sin 4x = 3 cos 2x
Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.
2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.
2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение
cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.
Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos
cos 3x + 2 sin сos = 0,
сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,
cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит
Ответ:
3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.
Для решения уравнения воспользуемся формулой
Ответ:
4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,
Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,
. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.
Значит sin x = . Поэтому .
Ответ:
III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова
1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)
(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)
№ 164 (а)
2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда
Ответ: –.
№ 167 (а)
3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.
Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.
Ответ:
№ 168 (а )
Ответ:
№ 174 (а )
Ответ:
Решить уравнение:
Ответ:
2 урок (урок-лекция)
IV. Изучение нового материала (продолжение)
– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.
5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений
Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.
sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.
Получим tg x – 1 = 0.
Ответ:
Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.
sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.
tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.
Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.
тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.
В итоге x = arctg 2 + , x =
Ответ: arctg 2 + ,
Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).
Ответ: arctg 2 + k,
6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений
Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.
Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:
Учитывая, что и, получим:
Ответ:
7 способ. Введение дополнительного аргумента
Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:
.
(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)
Введём дополнительный аргумент – угол такой, что
Тогда
Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.
Учтём, что . Тогда получим
0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим
Ответ: – arcsin 0,8 + +
8 способ. Уравнения вида Р
Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .
Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.
Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:
t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.
sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =
Ответ:
9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.
Решить уравнение:
В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:
Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.
1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.
Условию удовлетворяют только решения
Ответ:
10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.
Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:
Решение системы
Ответ:
V. Итог урока
Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.
(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )
Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).
Обобщающий урок по теме: "Методы решения тригонометрических уравнений" в 10-11 классах.
Просмотр содержимого документа
«урок алгебры 10-11 класс»
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Малоибряйкинская основная общеобразовательная школа
Похвистневского района Самарской области
Методическая разработка урока
по алгебре и началам анализа
«Общие методы решения тригонометрических уравнений»
для учащихся 10-11 классов
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Автор разработки: учитель математики Бурякова Вера Николаевна
- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;
- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.
- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.
Продолжительность урока: 2 часа
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.
1. Вводно-мотивационная часть.
1.1. Организационный момент.
1.2. Устная работа.
2. Основная часть урока.
2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).
2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.
3.2. Информация о домашнем задании.
3.3. Подведение итогов урока.
1. Вводно-мотивационная часть
Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.
Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.
2. Проверка готовности учащихся к уроку.
Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!
3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.
Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.
Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.
В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.
Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида
A sinx + В cosx = С. После каждого блока заданий проводим разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.
После чего познакомимся с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо! Итак, приступаем.
1.2. Устная работа.
Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.
Учитель: Первое задание для устной работы - решите уравнения:
На экране проецируется задание, затем появляются ответы
Конспект факультативного занятия "Решение тригонометрических уравнений (С1)"
план-конспект занятия по математике (10, 11 класс) на тему
Решение тригонометрических уравнений (факультативное занятие в 10-11 классах)
Важнейшим фактором развития математического мышления у школьников является их желание и стремление находить различные способы решения задач и уравнений. Это способствует развитию познавательных способностей, наблюдательности, настойчивости, сообразительности и умению догадываться.
Цель занятия: создание позитивной мотивации для учеников 10-11-х классов для успешной сдачи ЕГЭ; организация деятельности учащихся по закреплению способов решения тригонометрических уравнений части С1 и отбора корней;
Задачи занятия:
образовательные: создать условия для активной познавательной деятельности учащихся по закреплению и обобщению знаний и расширению понятийной базы за счет включения в нее разных видов тригонометрических уравнений; закрепить усвоение алгебраического и геометрического способов отбора корней тригонометрических уравнений, принадлежащих определенному промежутку;
развивающие: формировать умения решать тригонометрические уравнения в общем виде и находить корни уравнений на указанном промежутке; стимулировать познавательную деятельность учащихся; развивать интерес к предмету, четко формулировать свои мысли, логическое мышление и умение применять рациональные способы при решении задач;
воспитательные: воспитывать умение работать коллективно и самостоятельно (в зависимости от задания), воспитывать дисциплинированность, формирование у учащихся навыков самооценки.
Предмет: факультативное занятие по алгебре в 10-11 классах
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| otkrytyy_urok_ege_trigonometriya.docx | 23.68 КБ |
Предварительный просмотр:
Подготовка к ЕГЭ. Решение заданий С1.
Решение тригонометрических уравнений (факультативное занятие в 10-11 классах)
Важнейшим фактором развития математического мышления у школьников является их желание и стремление находить различные способы решения задач и уравнений. Это способствует развитию познавательных способностей, наблюдательности, настойчивости, сообразительности и умению догадываться.
Цель занятия: создание позитивной мотивации для учеников 10-11-х классов для успешной сдачи ЕГЭ; организация деятельности учащихся по закреплению способов решения тригонометрических уравнений части С1 и отбора корней;
образовательные : создать условия для активной познавательной деятельности учащихся по закреплению и обобщению знаний и расширению понятийной базы за счет включения в нее разных видов тригонометрических уравнений; закрепить усвоение алгебраического и геометрического способов отбора корней тригонометрических уравнений, принадлежащих определенному промежутку;
развивающие : формировать умения решать тригонометрические уравнения в общем виде и находить корни уравнений на указанном промежутке; стимулировать познавательную деятельность учащихся; развивать интерес к предмету, четко формулировать свои мысли, логическое мышление и умение применять рациональные способы при решении задач;
воспитательные : воспитывать умение работать коллективно и самостоятельно (в зависимости от задания), воспитывать дисциплинированность, формирование у учащихся навыков самооценки.
Предмет: факультативное занятие по алгебре в 10-11 классах
Учитель математики: Башурова И.Н.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Урок сопровождается презентацией, составленной учителем. В работе используется интерактивная доска.
- Мотивация учебной деятельности «Настроимся на урок!». Вступительное слово учителя. Постановка проблемы, после чего учащиеся пытаются сформулировать тему и цель занятия.
- Актуализация опорных знаний учащихся.
- Изучение нового материала
- Первичное закрепление материала.
- Подведение итогов. Рефлексия.
- Мотивация учебной деятельности «Настроимся на урок!».
Вступительное слово учителя. Постановка проблемы, после чего учащиеся пытаются сформулировать тему и цель занятия
Англоамериканский писатель , философ , публицист Томас Пейн в 1794 году написал философский труд « Век разума », где назвал тригонометрию «душой науки» (слайд 1)
Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами.
А так как наше занятие началось с высказывания о тригонометрии, и вы - ученики 10-11 классов, тогда чем мы сегодня займёмся на уроке? (то решать мы будем тригонометрические уравнения более высокого порядка – уравнения части С1 из ЕГЭ). А для этого вам понадобятся ваши знания основных формул тригонометрии и способов решения тригонометрических уравнений.
- Актуализация опорных знаний учащихся
Давайте вспомним методы решения тригонометрических уравнений:
Ответ : Метод замены переменной, уравнения, сводимые к квадратным + замена переменных, метод разложения на множители вынесением за скобки, решение уравнений с использованием однородности, решение уравнений с использованием основных формул тригонометрии, функционально-графический способ.
Устная работа с классом: назовите способ решения уравнений (приложение 1, слайд 2)
- sin 2 x -5sinxcosx + 6cos 2 x=0 (однородное 2 степени)
- (ОФТ + разложение на множители)
- 2cos 2 x - – 4 = 0 (сводимое к квадр. + замена переменных)
- 4sin 2 x - cos x = 1 (ОТТ + замена переменных)
- sin 2 x + cos 2 2х = 1 (ОФТ + замена переменных)
- sin 5x - sin x = 0 (ОФТ + разложение на множители)
- Выполнение тренировочных упражнений
Учащимся предлагаются тригонометрические уравнения, которые им необходимо:
б) найти корни, принадлежащие заданному промежутку, сначала с помощью двойных неравенств, а далее осуществить отбор корней с помощью числовой окружности. Для этого можно использовать макет окружности, который отобразить на интерактивной доске, и на ней маркером выполнять необходимые вычисления.
1). Решить уравнение sin 2 ( + х) = ; х
У доски будут работать 2 ученика: 1-й ученик решает и находит корни алгебраическим способом, 2-й ученик отбирает корни уравнения с помощью тригонометрического круга.
(см приложение №2, слайд 3)
2). Решить уравнение = ; х
(см приложение №3, слайд 4)
Примечание : для 2-го уравнения сначала необходимо найти ОДЗ, далее возвести обе части в квадрат (обе части неотрицательны). Решаем уравнение, а корни найдем только (для экономии времени) с помощью отбора корней на числовой окружности.
Ученики разбиты на группы. Ребятам раздается список тригонометрических уравнений части С1, из которых им на выбор предлагается решить любое уравнение. Каждая группа решает свое уравнение и дает ответ. После чего проверить решение каждой группы.
- Подведение итогов. Рефлексия
На последующих факультативных занятиях продолжить работу с КИМами и, выполняя задания, отрабатывать решения заданий группы В и группы С.
- Какой вывод можно сделать, решая каждый раз новое уравнение? (К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений, почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода).
Рефлексия. А теперь выразите свое отношение к уроку. Понравился он вам или нет, был ли урок для вас полезным или оставил вас равнодушными к математике. У каждого из вас на столе карточки (красная, зелёная, жёлтая). Уходя из класса, оставьте одну из них нужным цветом вверх.
красный цвет – мне было сложно и малопонятно,
желтый цвет – у меня не все получилось, но я доволен своей работой,
зеленый цвет – у меня все получилось, я доволен своей работой. (слайд 5)
Предложим нашим уважаемым гостям оценить работу учеников на данном уроке:
красный цвет – удовлетворительно,
желтый цвет – хорошо,
зеленый цвет – отлично. (слайд 5)
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект урока "Решение тригонометрических уравнений"
Цель урока - обобщение, систематизация методов и приёмов решения тригонометрических уравнений.
План - конспект урока "Решение тригонометрических уравнений"
Конспект урока :"Решение тригонометрических уравнений различными способами"
Цели урока: - повторение методов решения тригонометрических уравнений- актуализация навыков, преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции – формирование навыков установлени.
Конспект урока "Решение тригонометрических уравнений"
Конспект урока по алгебре и началам математического анализа в 10 классе по теме «Решение тригонометрических уравнений».
План – конспект урока «Решение тригонометрических уравнений с отбором корней»
Конспект урока«Решение тригонометрических уравнений с отбором корней».
Конспект урока «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
Повторить теоретический материал по теме «Тригонометрические функции», часто упо.
Конспект урока "Решение тригонометрических уравнений"
Обобщение знаний по теме "Решение тригонометрических уравнений" с презентацией и разноуровневой самостоятельной работой.
[spoiler title="источники:"]
[/spoiler]
