Математика задачи и уравнения 11

Олимпиадные задания по математике 11 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ М-11_кл.doc

Олимпиадные задания по математике

Общее время выполнения работы – 4 урока, 180 минут.

Общее максимальное количество баллов — 35 (по 7 баллов за каждое задание).

Докажите, что 13!-11! кратно 31.

Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки, за четвертую – 8 копеек и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран.

Решите уравнение

Три шара радиуса R касаются друг друга, а четвертый шар того же радиуса лежит сверху, при этом касается каждого из трех данных шаров. Определите высоту «горки» из четырех шаров.

Среди n рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами. При каких n такое возможно?

Критерии оценивания олимпиадных заданий

Общее максимальное количество баллов — 35 (по 7 баллов за каждое задание).

Докажите, что 13!-11! кратно 31.

Решение. Так как 13!=1 2 3 12 13=(1 2 3 11) 12 13=11! 12 13, то 13!-11!=11! 12 13-11!=11!(12 13-1)=11! 155=11! 31 5, которое кратно 31, что и требовалось доказать.

Критерии оценивания задания №1

Полное верное решение.

Решение верное. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

Приведены верные рассуждения, правильно записано разложение на множители 11!155 , но решение не доведено до конца.

Верно применена формула для нахождения факториалов 11! и 13!

Решение неверное, продвижения отсутствуют ИЛИ решение отсутствует

Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки, за четвертую – 8 копеек и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран.

Решение. 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 n = 65535 – это сумма геометрической прогрессии, где а 1 = 1, а 2 = 2, и т.д. Таким образом, q = 2. Формула суммы геометрической прогрессии

Ответ: 16 .

Критерии оценивания задания №2

Полное верное решение.

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

Ход решения задачи верный, правильно используется формула для подсчета суммы членов геометрической прогрессии, но допущена вычислительная ошибка. Решение может стать правильным после небольших исправлений.

Ход решения задачи верный, записана формула для подсчета суммы членов геометрической прогрессии, дальнейшие продвижения в решении задачи отсутствуют.

Правильно сделан вывод о том, что сумма вознаграждения равна сумме членов геометрической прогрессии.

Задание не решено (неверное решение) или записан ответ без объяснения.

Решите уравнение

Решение. Воспользуемся формулой для синуса двойного угла: , тогда получим уравнение

, равносильное уравнению ,

, , . Тогда .Решениями этих уравнений будут или , где . Объединив две серии решений в одну, в итоге получим ,где

Ответ: ,где .

Примечание. Если в ответе учащийся записал две серии решения , , где , то баллы не снимаются и ответ считать правильным.

Критерии оценивания задания №3

Полное верное решение.

Ход решения верный, все шаги его выполнены. Имеются недочеты (даны неполные объяснения), в целом не влияющие на решение. ИЛИ полное верное решение, но не записан ответ.

Рассмотрены отдельные шаги решения. От уравнения сделан верный переход к уравнению и верно записан ответ одной из серий.

Рассмотрены отдельные шаги решения. От уравнения сделан верный переход к уравнению .

Для первых 2-3 множителей правильно применили формулу для синуса двойного угла.

Задание не решено (неверное решение) или записан ответ без объяснения.

Три шара радиуса R касаются друг друга, а четвертый шар того же радиуса лежит сверху, при этом касается каждого из трех данных шаров. Определите высоту «горки» из четырех шаров.

Решение. Пусть четыре шара радиуса R c центрами A, B, C, D касаются друг друга и первые три из них – плоскости α в точках A 1 , B 1 , C 1 (см. рис).
Тогда точки A, B, C, D являются вершинами правильной пирамиды с ребром 2R.
Вершина D этой пирамиды проектируется в центр основания О.

АО= , OD =

Высота «горки» из четырех шаров равна сумме OD +2 R =2 R
Ответ: 2 R ( +1)

Критерии оценивания задания №4

Полное верное решение.

Ход решения верный, все шаги его выполнены. Имеются недочеты (даны неполные объяснения), в целом не влияющие на решение. Решение может стать правильным после небольших исправлений или дополнений

Верно найдено расстояние OD .

Рассмотрены отдельные шаги решения. Верно найдено расстояние АО.

Правильно сделан вывод о том, что расстояние между центрами шаров равно 2R ИЛИ выполнен рисунок по условию задачи.

Задание не решено (неверное решение) или записан ответ без объяснения

Среди n рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами. При каких n такое возможно?

Решение. Из условия следует, что рыцарей – не менее четырёх. Заметим, что у рыцаря не может быть более двух друзей, иначе найдутся 4 рыцаря, у которых есть общий враг, но тогда у этого врага будет не менее четырёх врагов, что противоречит условию. Значит, у каждого рыцаря не более двух друзей и ровно три врага, следовательно, всего рыцарей – не более шести.
Так как у каждого рыцаря по 3 врага, то число рыцарей чётно .

б ) Примеры : если рыцарей – 4, то друзей ни у кого из них нет и каждый враг каждому, а если рыцарей – 6, то разбиваем рыцарей на две тройки: каждый рыцарь дружит с рыцарями из своей тройки и враждует с рыцарями из другой.

Ответ: n = 4 или n = 6.

Критерии оценивания задания №5

Полное верное решение.

Ход решения верный, все шаги его выполнены. Имеются недочеты (даны неполные объяснения), в целом не влияющие на решение. ИЛИ полное верное решение, но не записан ответ.

Верно выполнены рассуждения, но допущена логическая ошибка. Решение может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

Рассмотрены его отдельные шаги. Верно сделан вывод о том, что « у каждого рыцаря не более двух друзей и ровно три врага». Дальнейшие продвижения в решении задачи отсутствуют.

Решение начато верно. Рассмотрены его отдельные шаги, но дальнейшие продвижения в решении задачи отсутствуют. ИЛИ решение не доведено до конца.

Задание не решено (неверное решение) или записан ответ без объяснения.

Краткое описание документа:

Олимпиадные задания по математике 11 класс рассчитаны для проведения различных внеурочных мероприятий.

К заданиям приведены полные решения,критерии оценки каждого задания чётко разработаны.

При оценивании заданий могут быть рассмотрены другие способы решений задач.

При составлении заданий учитывались индивидуальные возможности учащихся.

Олимпиадные задания по математике для 11, 10 , 9 классов
олимпиадные задания по математике (9, 10, 11 класс)

Олимпиадные задания по математике для 11, 10, 9 классов (с решением заданий )

Скачать:

ВложениеРазмер
Олимпиадные задания по математике 11 класс36 КБ
олимпиадные задания по математике 10 класс58 КБ
olimpiadnye_zadaniya_po_matematike_9_klass.doc36 КБ

Предварительный просмотр:

Олимпиадные задания по математике 11 класс (с решением)

Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Решите уравнение sin 4 4x + cos 2 x = 2sin4x х cos 4 x.

Существует ли многогранник с нечетным числом граней,
каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1.
Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце.
Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке.
Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = ( 2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) + 1 = (n 2 + 3n + 1) 2 .

Перенесем в левую часть 2sin4x · cos 4 x и прибавим и вычтем по cos 8 x.
В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду (sin4x – cos 4 x) 2 + cos 2 x(1 – cos 6 x) = 0,
которое равносильно следующей системе:

Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение,
в результате получим решение исходного уравнения x = π /2 + π k .

Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях,
тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная.
А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно.
Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.

Составим уравнение касательных к гиперболе в точке

Т. к.(1/x)’ = -1/(x 2 ), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/(х 0 2 )(x — х 0 ) + 1/х 0 . (*)
Касательная с уравнением (*) пересекает ось абсцисс в точке (х 1 ;0);
х 1 можно определить из уравнения -1/(х 0 2 )(x — х 0 ) + 1/х 0 = 0.
Решая данное уравнение, получим х 1 = 2х 0 .
Точка (0; y 1 ) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение (*) значения х = 0.
В итоге получим y 2 = 2/х 0 .
Отрезки осей координат и касательной составляют прямоугольный треугольник,
катеты которого имеют длины а = 2|х 0 | и b = 2 / |х 0 |.
Площадь данного треугольника равна 2.

Найдем произведение всех 25 чисел,
записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек.
Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1.
А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50).
Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно — 1, т. е. слагаемых с — 1 должно быть нечетное число.
А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.

Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

Исследуем знаки производной.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

Определим знаки производной.

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции

Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции .будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.

при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при

4. Найдите абсциссу точки максимума функции

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при

Если то Если , то

Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю:

Найдем знаки производной на отрезке

При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

Найдем производную функции

При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки

В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при


источники:

http://nsportal.ru/shkola/matematika/library/2019/03/18/olimpiadnye-zadaniya-po-matematike-dlya-11-klassa-s-resheniem

http://ege-study.ru/zadanie-12-profilnogo-EGE-po-matematike