Метод эйлера для дифференциальных уравнений второго порядка

Метод эйлера для дифференциальных уравнений второго порядка

Численное решение линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка методами Эйлера и Рунге-Кутта.

Рассматривается линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка вида

Для того, чтобы применить к нему численные методы Эйлера и Рунге-Кутта, следует свести это уравнение к системе 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка

Упростим : b=b/a, c=c/a.

Вводя новую функцию x(t), получаем :

К полученной системе применяем формулу Эйлера :

Затем применяется метод Рунге-Кутта. Расчет ведется по формулам :

В случае нашей системы формулы выглядят следующим образом :

Ниже приведен пример решения уравнения 3 y”+2y’+y=0 на отрезке t=[0..1] с шагом 0,01 в среде Maple ( текст программы)

Задаются коэффициенты дифференциального уравнения

Задание начальных условий

Задание правой границы отрезка

Уменьшение шага повысит точность вычислений

Расчет числа шагов

Вывод дифференциального уравнения

ur := a * diff ( y ( t ), t $2)+ b * diff ( y ( t ), t )+ c * y ( t )=0;

Вывод начальных условий

usl := y ( t 0)= y 0; usl 2:= D ( y )( t 0)= yy 0;

Перерасчет коэффициентов к виду y «+ by ‘+ cy =0

b := b / a : c := c / a :

Применяется метод Эйлера

print (`Метод Эйлера с шагом h `= h );

for i from 1 to n do

В цикле ведется расчет по формулам Эйлера

Если в следующей строке изменить «:» на «;» будут выводится результаты расчета на каждом шаге

Применяется метод Рунге-Кутта 3 порядка

print (`Метод Рунге-Кутта 3 порядка с шагом h `= h );

Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения

Более общее уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.

Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1) .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = e t .
Действительно, тогда
;
;
;

;
;
.

Таким образом, множители, содержащие x m , сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.

Решение однородного уравнения Эйлера

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2) .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
.
.
Подставляем в (2) и сокращаем на x k . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.

Рассмотрим действительные корни. Пусть ki – кратный корень кратности m . Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.

Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть ki – кратный корень кратности m . Выразим комплексный корень ki через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2 m линейно независимых решений:
;
;
.
.

После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3) .

Примеры

Решение неоднородного уравнения Эйлера

Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.

Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x . Дифференцируем (3) n – 1 раз. Получаем выражения для n – 1 производных y по x . При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n – 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n -ю производную y . Подставляем полученные производные в (1) и получаем n -е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).

Пример

Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью:
(4)
,
где – многочлены от степеней и , соответственно.

Наиболее простой способ решения такого уравнения заключается в том, чтобы сделать подстановку
,
и решать линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-08-2013 Изменено: 24-10-2020

Метод эйлера для дифференциальных уравнений второго порядка

Системой дифференциальных уравнений называется система вида

где x — независимый аргумент,

yi — зависимая функция, ,

Функции yi(x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системой дифференциальных уравнений.

Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.

Модифицированный метод Эйлера.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

F(x,y,у’,y»)=0(1)
y»=f(x,y,y’).(2)

Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Численно ищется частное решение уравнения (2), которое удовлетворяет заданным начальным условиям, то есть решается задача Коши.

Для численного решения дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка и приводится к машинному виду (3). Для этого вводится новая неизвестная функция , слева в каждом уравнении системы оставляют только первые производные неизвестных функций, а в правых частях производных быть не должно

.(3)

Функция f2(x, y1, y) в систему (3) введена формально для того, чтобы методы, которые будут показаны ниже, могли быть использованы для решения произвольной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим несколько численных методов решения системы (3). Расчетные зависимости для i+1 шага интегрирования имеют следующий вид. Для решения системы из n уравнений расчетные формулы приведены выше. Для решения системы из двух уравнений расчетные формулы удобно записать без двойных индексов в следующем виде:

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

где h — шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y1=y10, y=y0.

Контрольное задание по зачетной работе.

Колебания с одной степенью свободы

Цель. Изучение численных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка и систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Задание. Численно и аналитически найти:

  1. закон движения материальной точки на пружинке х(t),
  2. закон изменения силы тока I(t) в колебательном контуре (RLC — цепи) для заданных в табл.1,2 режимов. Построить графики искомых функций.

Свободные незатухающие колебания

Затухающее колебательное движение

Предельное апериодическое движение

Вынужденное колебание без сопротивления

Вынужденное колебание без сопротивления, явление резонанса

Вынужденное колебание с линейным сопротивлением

Вынужденное колебание с линейным сопротивлением, явление резонанса


источники:

http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/lineinie_postoyannie_koeffitsienti/eilera/

http://toehelp.ru/theory/informat/lecture14.html