Методы решение систем логарифмических уравнений

Логарифмические уравнения и системы

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\)

Неравенства \( \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для \(x\) в явном виде;
2) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения \(f(x)\) и \(g(x)\) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для \(f(x)\) и \(g(x)\), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(\lg(2x+3)+\lg(x+4)=\lg(1-2x)\)
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin 2x+3\gt 0\\ x+4\gt 0\\ 1-2x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt-\frac32\\ x\gt-4\\ x\lt\frac12 \end \Rightarrow -\frac32\lt x\lt\frac12\Rightarrow x\in\left(-\frac32;\frac12\right) \)
Решаем уравнение:
\(\lg\left((2x+3)(x+4)\right)=\lg(1-2x)\)
\((2x+3)(x+4)=1-2x\)
\(2x^2+11x+12-1+2x=0\)
\(2x^2+13x+11=0\)
\((2x+11)(x+1)=0\)
\( \left[ \begin x_1=-5,5\\ x_2=-1 \end \right. \)
Корень \(x_1=-5,5\notin \left(-\frac32;\frac12\right),\) т.е. не подходит.
Корень \(x_2=-1\in \left(-\frac32;\frac12\right)\) — искомое решение.
Ответ: -1

п.3. Решение уравнений вида \(\log_ f(x)=\log_ g(x)\)

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

Например:
Решим уравнение \(\log_(x^2-4)=\log_(2-x)\)
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin x^2-4\gt 0\\ 2-x\gt 0\\ x+5\gt 0\\ x+5\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt -2\cup x\gt 2\\ x\lt 2\\ x\gt -5\\ x\ne -4 \end \Rightarrow \begin -5\lt x\lt -2\\ x\ne -4 \end \Rightarrow x\in (-5;-4)\cup(-4;-2) \)
Решаем уравнение:
\(x^2-4=2-x\)
\(x^2+x-6=0\)
\((x+3)(x-2)=0\)
\( \left[ \begin x_1=-3\\ x_2=2 — \ \text <не подходит>\end \right. \)
Ответ: -3

В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

Например:
Решим уравнение \(\log_<2>(x+1)=\log_<4>(x+3)\)
Основания \(2\ne 4\), и нельзя сразу написать \(x+1=x+3\).
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
\(\log_2(x+1)=\log_<2^2>(x+1)^2=\log_4(x+1)^2\)
Тогда исходное уравнение примет вид: \(\log_4(x+1)^2=\log_4(x+3)\)
И теперь: \((x+1)^2=x+3\)
\(x^2+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
\( \left[ \begin x_1=-2\\ x_2=1 \end \right. \)
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
\( \begin x+1\gt 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\gt -1 \)
Корень \(x_1=-2\lt -1\) — не подходит.
Ответ: 1

Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнения:
a) \( \log_2(x+1)-\log_2(x-1)=1 \)
ОДЗ: \( \begin x+1\gt 0\\ x-1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow x\gt 1 \)
\(\log_2\left((x+1)(x-1)\right)=\log_22\)
\(x^2-1=2\Rightarrow x^2 =3\)
\( \left[ \begin x_1=-\sqrt<3>\lt 2 — \text<не подходит>\\ x_2=\sqrt <3>\end \right. \)
Ответ: \(\sqrt<3>\)

б) \( 2\log_5(x-1)=\log_5(1,5x+1) \)
ОДЗ: \( \begin x-1\gt 0\\ 1,5x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt-\frac23 \end \Rightarrow x\gt 1 \)
Преобразуем: \(2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2\)
Получаем: \(\log_5(x-1)^2=\log_5(1,5x+1)\)
\((x-1)^2=1,5x+1\)
\(x^2-2x+1-1,5x-1=0\Rightarrow x^2-3,5x=0\Rightarrow x(x-3,5)=0\)
\( \left[ \begin x_1=0\lt 1 — \text<не подходит>\\ x_2=3,5 \end \right. \)
Ответ: 3,5

в) \( \log_3(3-x)+\log_3(4-x)=1+2\log_3 2 \)
ОДЗ: \( \begin 3-x\gt 0\\ 4-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 3\\ x\lt 4 \end \Rightarrow x\lt 3 \)
Преобразуем: \(1+2\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2^2=\log_3(3\cdot 4)=\log_3 12\)
Получаем: \(\log_3\left((3-x)(4-x)\right)=\log_3 12\)
\((3-x)(4-x)=12\Rightarrow 12-7x+x^2=12\Rightarrow x(x-7)=0\)
\( \left[ \begin x_1=0\\ x_2=7\gt 3 — \text <не подходит>\end \right. \)
Ответ: 0

г) \( \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
\(\log_2x^2=2\log_2x\)
Получаем: \(\log_2^2x+2\log_2x+1=0\)
Замена: \(t=\log_2 x\)
\(t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(\log_2x=-1\)
\(x=2^<-1>=\frac12\)
Ответ: \(\frac12\)

д) \( x^<\lg x>=10 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg ⁡x\). Тогда \(x=10^t\)
Подставляем:
\((10^t)^t=10\Rightarrow 10^=10^1\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1\)
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin \lg x=-1\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-1>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,1\\ x_2=10 \end \right. \)
Оба корня подходят.
Ответ:

e) \( \sqrt\cdot \log_5(x+3)=0 \)
ОДЗ: \( \begin x\geq 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\geq 0\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\geq 0 \)
\( \left[ \begin \sqrt=0\\ \log_5(x+3)=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x+3=5^0=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. \)
Ответ: 0

ж) \( \log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(x+1) \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ x+1\gt 0\\ 5x-2\gt 0\\ 5x-2\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\gt -1\\ x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end \)
Преобразуем: \(\log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(2x^2)\)
Подставляем: \(\log_<5x-2>(2x^2)=\log_<5x-2>(x+1)\)
\( 2x^2=x+1\Rightarrow 2x^2-x-1=0\Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin x_1=-\frac12 — \text<не подходит>\\ x_2=1 \end \right. \)
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнения:
a) \( \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 \)
ОДЗ: \( \begin 2x-1\gt 0\\ \log_3(2x-1)\gt 0\\ \log_2\log_3(2x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ 2x-1\gt 3^0\\ \log_3(2x-1)\gt 2^0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ 2x-1\gt 3^1 \end \Rightarrow \)
\( \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ x\gt 2 \end \Rightarrow x\gt 2 \)
Решаем:
\(\log_2\log_3(2x-1)=4^<1/2>=2\)
\(\log_3(2x-1)=2^2=4\)
\(2x-1=3^4=81\)
\(2x=82\)
\(x=41\)
Ответ: 41

б) \( \log_2(9-2^x)=25^<\log_5\sqrt<3-x>> \)
ОДЗ: \( \begin 9-2x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2^x\lt 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\lt\log_2 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow x\lt 3 \)
Преобразуем: \(25^<\log_5\sqrt<3-x>>=25^<\log_<5^2>(\sqrt<3-x>)^2>=25^<\log_<25>(3-x)>=3-x\)
Подставляем: \(\log_2(9-2^x)=3-x\)
\(9-2^x=2^<3-x>\)
\(9-2^x-\frac<8><2^x>=0\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\)
\( 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac<-t^2+9t-8>=0\Rightarrow \begin t^2-9t+8\gt 0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \begin (t-1)(t-8)=0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \left[ \begin t_1=1\\ t_2=8 \end \right. \)
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin 2^x=1\\ 2^x=8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2^x=2^0\\ 2^x=2^3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=3 \end \right. \)
По ОДЗ \(x\lt 3\), второй корень не подходит.
Ответ: 0

в) \( \lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>+1=\lg 30 \)
ОДЗ: \( \begin x-5\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 5\\ x\gt\frac32 \end \Rightarrow x\gt 5 \)
Преобразуем: \(\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac<30><10>=\lg 3\)
Подставляем: \(\lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>=\lg 3\)
\(\frac12\lg(x-5)+\frac12\lg(2x-3)=\lg 3\ |\cdot 2\)
\(\lg(x-4)+\lg(2x-3)=2\lg 3\)
\(\lg\left((x-5)(2x-3)\right)=\lg 3^2\)
\((x-5)(2x-3)=9\Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 \Rightarrow 2x^2-13x+6=0\)
\( (2x-1)(x-6)=0\Rightarrow \left[ \begin x_1=\frac12\lt 5 — \ \text<не подходит>\\ x_2=6 \end \right. \)
Ответ: 6

г) \( \frac<1><\lg x>+\frac<1><\lg 10x>+\frac<3><\lg 100x>=0 \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ \lg x\ne 0\\ \lg 10x\ne 0\\ \lg 100x\ne 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne 1\\ 10x\ne 1\\ 100x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne\left\<\frac<1><100>;\frac<1><10>;1\right\> \end \)
Преобразуем: \(\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg 10\)
\(\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x\)
Подставляем: \(\frac<1><\lg x>+\frac<1><1+\lg x>+\frac<3><2+\lg x>=0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\begin \frac1t+\frac<1><1+t>+\frac<3><2+t>=0\Rightarrow \frac1t+\frac<1><1+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow \frac<1+t+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2\Rightarrow 5t^2+8t+2=0\\ D=8^2-4\cdot 5\cdot 2=24,\ \ t=\frac<-8\pm 2\sqrt<6>><10>=\frac<-4\pm \sqrt<6>> <5>\end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin \lg x=\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ \lg x=\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ x=10\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: \(\left\<10\frac<-4\pm\sqrt<6>><5>\right\>\)

e) \( x^<\frac<\lg x+7><4>>=10^ <\lg x+1>\)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg x.\) Тогда \(x=10^t\)
Подставляем: \begin (10^t)^<\frac<4>>=10^\\ \frac<4>=t+1\Rightarrow t(t+7)=4(t+1)\Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\\ t^2+3t-4=0\Rightarrow (t+4)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-4\\ t_2=1 \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin \lg x=-4\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-4>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,0001\\ x_2=10 \end \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: \(\left\<0,0001;\ 10\right\>\)

ж) \( 4^<\log_3(1-x)>=(2x^2+2x+5)^ <\log_3 2>\)
ОДЗ: \( \begin 1-x\gt 0\\ 2x^2+2x+5\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ D\lt 0,\ x\in\mathbb \end \Rightarrow x\lt 1 \)
По условию: \begin \log_3(1-x)=\log_4\left((2x^2+2x+5)^<\log_32>\right)\\ \log_3(1-x)=\log_32\cdot\log_4(2x^2+2x+5) \end Перейдем к другому основанию: $$ \frac<\lg(1-x)><\lg 3>=\frac<\lg 2><\lg 3>\cdot\frac<\lg(2x^2+2x+5)><\lg 4>\ |\cdot\ \lg 3 $$ \(\frac<\lg 2><\lg 4>=\frac<\lg 2><\lg 2^2>=\frac<\lg 2><2\lg 2>=\frac12\) \begin \lg(1-x)=\frac12\cdot\lg(2x^2+2x+5)\ |\cdot 2\\ 2\lg(1-x)=\lg(2x^2+2x+5)\\ \lg(1-x)^2=\lg(2x^2+2x+5)\\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\\ x^2+4x+4=0\\ (x+2)^2=0\\ x=-2 \end Ответ: -2

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) \( \begin \lg x+\lg y=\lg 2\\ x^2+y^2=5 \end \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ y\gt 0 \end \)
Из первого уравнения: \(\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2\)
Получаем: \( \begin xy=2\\ x^2+y^2=5 \end \Rightarrow \begin y=\frac2x\\ x^2+\left(\frac2x\right)^2-5=0 \end \)
Решаем биквадратное уравнение: \begin x^2+\frac<4>-5=0\Rightarrow\frac=0\Rightarrow \begin x^4-5x^2+4=0\\ x\ne 0 \end \\ (x^2-4)(x^2-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x^2=4\\ x^2=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pm 2\\ x=\pm 1 \end \right. \end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: \( \left[ \begin \begin x=1\\ y=\frac2x=2 \end \\ \begin x=2\\ y=\frac22=1 \end \end \right. \)
Ответ: \(\left\<(1;2),(2,1)\right\>\)

б) \( \begin x^=27\\ x^<2y-5>=\frac13 \end \)
ОДЗ: \(x\gt 0,\ x\ne 1\)
Логарифмируем: \( \begin y+1=\log_x27=\log_x3^3=3\log_x3\\ 2y-5=\log_x\frac13=\log_x3^<-1>=-\log_x3 \end \)
Замена: \(z=\log_x3\) \begin \begin y+1=3z\\ 2y-5=-z\ |\cdot 3 \end \Rightarrow \begin y+1=3z\\ 6y-15=-3z \end \Rightarrow \begin 7y-14=0\\ z=5-2y \end \Rightarrow \begin y=2\\ z=1 \end \end Возвращаемся к исходной переменной: $$ \begin y=2\\ \log_x3=1 \end \Rightarrow \begin x^1=3\\ y=2 \end \Rightarrow \begin x=3\\ y=2 \end $$
Ответ: (3;2)

в*) \( \begin 3(\log_y x-\log_x y)=8\\ xy=16 \end \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0,\ x\ne 1\\ y\gt 0,\ y\ne 1 \end \)
Сделаем замену \(t=\log_x y\). Тогда \(\log_y x=\frac<1><\log_x y>=\frac1t\)
Подставим в первое уравнение и решим его: \begin 3\left(\frac1t-t\right)=8\Rightarrow\frac<1-t^2>=\frac83\Rightarrow \begin 3(1-t^2)=8t\\ t\ne 0 \end\\ 3t^2+8t-3=0\Rightarrow (3t-1)(t+3)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=\frac13\\ t_2=-3 \end \right. \end Прологарифмируем второе уравнение по \(x\): $$ \log_x(xy)=\log_x16\Rightarrow 1+\log_x y=\log_x16\Rightarrow 1+t=\log_x 16 $$ Получаем: \begin \left[ \begin \begin t=\frac13\\ \log_x16=1+t=\frac43 \end \\ \begin t=-3\\ \log_x16=1+t=-2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x^<\frac43>=16 \end \\ \begin t=-3\\ x^<-2>=16 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x=(2^4)^<\frac34>=2^3=8 \end \\ \begin t=-3\\ x=(16)^<-\frac12>=\frac14 \end \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin \begin x=8\\ \log_x y=\frac13 \end \\ \begin x=\frac14\\ \log_x y=-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x=8\\ y=8^<\frac13>=2 \end \\ \begin x=\frac14\\ y=\left(\frac14\right)^<-3>=64 \end \end \right. \end
Ответ: \(\left\<(8;2),\left(\frac14; 64\right)\right\>\)

г*) \( \begin (x+y)\cdot 3^=\frac<5><27>\\ 3\log_5(x+y)=x-y \end \)
ОДЗ: \(x+y\gt 0\)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin \log_3\left((x+y)\cdot 3^\right)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)+(y-x)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>=x-y \end Получаем:\(x-y=3\log_5(x+y)=\log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>\)
Решим последнее уравнение относительно \(t=x+y\) \begin 3\log_5 t=\log_3 t-\log_3\frac<5><27>\\ 3\cdot\frac<\log_3t><\log_35>-\log_3t=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t\cdot\left(\frac<3><\log_35>-1\right)=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t=-\frac<\log_3\frac<5><27>><\frac<3><\log_35>-1>=-\frac<(\log_35-3)\log_35><3-\log_35>=\log_35\\ t=5 \end Тогда: \(x-y=3\log_5t=3\log_55=3\)
Получаем систему линейных уравнений: \begin \begin x+y=5\\ x-y=3 \end \Rightarrow \begin 2x=5+3\\ 2y=5-3 \end \Rightarrow \begin x=4\\ y=1 \end \end Требование ОДЗ \(x+y=4+1\gt 0\) выполняется.
Ответ: (4;1)

Решение логарифмических уравнений и систем уравнений. Подготовка к ЕГЭ

Разделы: Математика

Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую человечество употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим:
он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать
не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы;
ему ничто не должно доставаться даром.
Даётся только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)

Форма урока: комбинированный урок

Тип урока: Урок повторного контроля знаний.

Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока:

  • Образовательная — обобщение знаний учащихся по теме «Логарифмические уравнения и системы уравнений; закрепить основные приемы и методы решения логарифмических уравнений и систем уравнений; ознакомить учащихся с видами заданий повышенной сложности по данной теме в ЕГЭ.
  • Развивающая — развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.
  • Воспитывающая — воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.

Задачи урока:

  • выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.
  • осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений и систем уравнений.
  • познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений и систем уравнений.

Методы и педагогические приемы:

  • Методы самообучения
  • Приемы устного опроса.
  • Приемы письменного контроля.
  • Коллективная учебная деятельность.
  • Организация работы в группах.
  • Повышение интереса к учебному материалу.

Оборудование:

  • компьютер, мультимедийный проектор и экран;
  • тетради;

Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.

План урока:

  1. Организационный момент (1 мин)
  2. Проверка домашнего задания (3 мин)
  3. Входной контроль (повторение теоретического материала) (15 мин)
  4. Этап обобщения знаний учащихся. Решение уравнений и систем уравнений (45 мин)
  5. Разноуровневая самостоятельная работа (проверка знаний учащихся) (20 мин)
  6. Итоги урока (4 мин)
  7. Домашнее задание (2 мин)

1. Организационный момент

Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.

2. Проверка домашнего задания

Установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях.

3. Входной контроль (повторение теоретического материала)

Организация устной фронтальной работы с классом по повторению логарифмических формул и способов решения логарифмических уравнений.

Решение простейших уравнений:

а) и

б) и

2) Найдите Х, если х>0:

[1/5]

[4]

Перечислите: основные способы решения логарифмических уравнений.

Способы решения логарифмических уравнений

  • По определению логарифма.
  • Метод потенцирования.
  • Метод введения новой переменной.
  • Решение уравнений логарифмированием его обеих частей.
  • Функционально-графический способ.

На экране уравнения:

  1. log2(3 — 6x) = 3
  2. lg(х 2 — 2х) = lg (2х + 12)
  3. 5 х + 1 — 5 х — 1 = 24
  4. х lg х = 10000
  5. 3 2х + 5 = 3 х + 2 + 2
  6. log3 2 x — log3 x = 3
  7. log2x — log4x = 3
  8. 2 x = x 2 — 2x

Среди данных уравнений выбрать логарифмические. Определить способ решения каждого уравнения. Решите уравнения.

По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.

Устно ответить на следующие вопросы (если имеется не один корень):

  • Найти наименьший корень уравнения.
  • Найти сумму корней уравнения.
  • Найти разность корней уравнения.
  • Найти произведение корней уравнения.
  • Найти частное корней уравнения

Самооценка и взаимооценка деятельности учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

4. Этап обобщения знаний учащихся

Решение логарифмических уравнений из заданий ЕГЭ части В и С.

№ 1 (В) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения log6(3x + 88) — log6 11 = log6 x. [1]

№ 2 (B) Найдите произведение всех корней уравнения

. [1]

№ 3 (B) Найдите сумму корней уравнения = log4 (x — 3) + 2. [2]

№ 4 (C) найти наибольший корень уравнения: log2(2+5)+ log0,5(-х-0,5) = 1 [-4]

№ 5 (C) Решите уравнение — log6 x + 34 = () 2 + x. [2]

Уравнения №1-3 решает по два ученика на обратных крыльях доски с последующей проверкой решения всем классом.

Уравнение №4,5 решает ученик с подробным комментарием.

По окончании самооценка и взаимооценка учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log a x = b, a > 0, a 1.

log a f(x) = b, a > 0, a 1.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма: если logb a = c, то a = b c .

Решить уравнение log2 x = 3.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2 3 , x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x).

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = a b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример. Решить уравнение log3(5х — 1) = 2.

ОДЗ: 5х — 1 > 0; х > 1/5.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х 2 — 2х — 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х 2 — 2х — 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х 2 — 2х — 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x)) c = b или равносильного уравнения проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Суть метода заключается в переходе от уравнения

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств:

х> -1,5+ , х 2 — 3х — 5 = 7 — 2х,

х 2 — х — 12 = 0, откуда х1 = -3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.

Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

logb a + logb c = logb (a*c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

logb a — logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

m logb a = logb a m , где a > 0; b > 0, b 1; m R.

Пример 1. Решить уравнение log6 (x — 1) = 2 — log6 (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log6 ((x — 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х — 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = -2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x — 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма (х + 3) 2 = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2 посторонний корень.

Пример 3. Решить уравнение log2 (6 — x) = 2 log6 x.

Решение. На области определения 0 2 , откуда х = -3, х = 2. Число х = -3 посторонний корень.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 1 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x > -1, x 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1) ? 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)-1) 2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и x = 2.

3. Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

где a > 0, a 1, A, В, Сдействительные числа.

Пусть t = loga f(x), t R. Уравнение примет вид t 2 + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x — lg x — 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения — интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, t R.

Уравнение примет вид t 2 — t — 6 = 0. Его корни t1 = -2, t2 = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = -2 или lg x = 3, х = 10 -2 или х = 10 3 .

Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х 2 — 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (-x) = 2, отсюда —х = 9, х = -9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.

где a > 0, a 1, A, В, Сдействительные числа, A 0, В 0.

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на loga f(x) 0. Учитывая, что loga f(x) logf(x) a=1

(свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение

Замена loga f(x)=t, t R приводит его к квадратному At 2 + Ct + B = 0.

Из уравнений loga f(x)= t1, logb f(x)= t2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:

f(x) > 0, f(x) 1.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 1, т.е. x >-2, x -1.

Умножим обе части уравнения на log5 (x+2) 0, получим

или, заменив log5 (x+2) = t, придем к квадратному уравнению

Возвращаемся к первоначальной переменной:

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

ОДЗ: x > 0, х 1

Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Ответ:

4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей.

Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению loga f(x) = loga g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0, a 1, называется логарифмированием.

Методом логарифмирования можно решать:

Уравнения вида

Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения

Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно loga x.

Пример. Решить уравнение 3 2log 4 x+2 =16x 2 .

Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения

Введем новую переменную t=loga x , t R. Решив квадратное уравнение At 2 + (B-а)t-loga C=0, найдем его корни t1 и t2. Значение x найдем из уравнений t1 = loga x и t2=loga x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log3 t монотонна, то

Введём новую переменную t, где t = log3 x, t R.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х >1. Обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 2, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:

Введем новую переменную t=log2x, получим квадратное уравнение t 2 — 3t + 2 = 0,

1) Найти наибольший корень уравнения: lq(x+6) — 2 = 1 /2lq(2x -3) — lq25

3) Пусть (х0;y0) — решение системы уравнений

4) Пример .Решите систему уравнений

Решение. Решим эту систему методом перехода к новым переменным:

Заметим, что x>0 и у R является областью определения данной системы.

Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 3, получим:

Тогда по обратной теореме Виета переменные и и v являются корнями квадратного уравнения

z 2 -z-12 = 0

Следовательно, решения данной системы найдем как множество решений совокупности двух систем а) и б):

а) б)

Решениями указанных систем являются соответственно пары (27;4), (; -3).

Ответ: (27; 4), (; -3).

5) Пример. Решите систему уравнений

Перейдем к новым переменным:

x = 2 u >0, 1оg2 у = v, у = 2 v >0.

В новых переменных данная система имеет вид:

Следовательно, и и v являются корнями квадратного уравнения :

z 2 -42 + 3 = 0

Отсюда следует, что достаточно решить систему

Другое решение найдем из-за симметричности х и у, т. е. если (х; y) — решение, то (у; х) также является решением.

5. Самостоятельная работа.

1. Вычислите значение выражения: 11-3log3

2. Решите уравнения:

3.Решите систему уравнений :

1. Вычислите значение выражения: 13-3log2

2. Решите уравнения:

6.Подведение итогов урока:

Учитывая контингент учащихся данного класса, можно сделать вывод о том, что в целом учащиеся усвоили материал по данной теме.

Система логарифмических уравнений

Содержание:

Система логарифмических уравнений

При решении логарифмических систем также используют способ замены, алгебраического сложения и т.д., а также свойства логарифмических функций. Рассмотрим это на примерах:

Задача пример №169

Решите систему уравнений

Решение:

понятно, что > 0 и > 0.

Из первого уравнения системы получим = 6 — , из второго получим = 3 или = 8.

Таким образом, получаем систему Подставим = 6 — в уравнение = 8 . Тогда получим квадратное уравнение . Его корнями являются числа = 2, = 4. Подставим их в = 6 — , получим = 4, = 2.

Решением данной системы является пара (2; 4) и (4; 2).

Задача пример №170

Решите систему уравнений

Решение:

из первого уравнения системы имеем = 2. Выполним замену: во второе уравнение = 72 вместо подставим = 2 + . Тогда можно записать = 36. Отсюда и получим, что = 1. Тогда = 3.

Таким образом, решением данной системы является пара (3; 1).

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Математика: полный курс решений задач в виде лекций

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.


источники:

http://urok.1sept.ru/articles/604860

http://natalibrilenova.ru/sistema-logarifmicheskih-uravnenij/