Найти решение уравнений удовлетворяющее краевым условиям

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

10.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

Как было сказано в п. 10.1, в силу основной теоремы су­ществования и единственности решения для уравнения второ­го порядка

Определена задача Коши, когда в точке Х = X0 заданы значения неизвестной функции и ее производной:

Если выполнены условия теоремы 10.1, то задача Коши (10.13), (10.14) однозначно определяет частное решение.

Однако существует и другой тип задач для дифференци­альных уравнений второго порядка — значения неизвестной функции задаются в двух разных точках. Иными словами, при решении уравнения (10.13) на интервале (А, B) рассмотрим Гра­ничные условия наиболее простого вида на концах интервала

В этом случае уравнение (10.13) совместно с условиями (10.14) называется Первой краевой задачей для уравнения второго по­рядка. Поскольку второе условие в (10.15) равносильно второ­му условию в (10.14), то указанная краевая задача может иметь единственное решение, т. е. определять единственным образом частное решение дифференциального уравнения (10.13), прохо­дящее через точки (X1, Y1), (X2, Y2). Так, для линейного диффе­ренциального уравнения второго порядка первая краевая зада­ча имеет решение, если определитель системы линейных алгеб­раических уравнений относительно произвольных постоянных C1 и С2

Реализующей краевые условия (10.15), отличен от нуля. Здесь в соответствии с теоремой 10.4 (X) — частное решение не­однородного уравнения, У1(х) и У2(х) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения. В таком случае краевая задача с условиями (10.15) однозначно опреде­ляет частное решение дифференциального уравнения (10.8).

Пример 1. Найти частное решение уравнения

Удовлетворяющее краевым условиям

Общее решение этого уравнения было найдено в примере 4 и. 10.3:

Для отыскания частного решения, соответствующего данным краевым условиям, подставим это решение в эти краевые усло­вия. Получаем систему линейных уравнений относительно про­извольных постоянных С1 и С2

Нетрудно видеть, что определитель этой системы не равен ну­лю, т. е. данная краевая задача имеет решение. Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на 2, получаем С2, а затем из первого уравнения — С1:

Отсюда решение данной краевой задачи как частное решение дифференциального уравнения, проходящее через точки (0, 1) и (ln 2, 2), имеет вид

Краевые задачи

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

предыдущих параграфах для уравнения п-го порядка рассматривалась задача с начальными условиями, в конторой все п условий задаются при одном и том же значении t = tQ. В краевой задаче задаются условия при двух (или более) значениях t. Такие условия называются краевыми. Здесь будут рассматриваться только линейные краевые задачи, в которых дифференциальное уравнение и краевые условия линейны. Левые части краевых условий — линейные комбинации значений искомой функции и ее производных в заданных точках ti9 а правые части — заданные постоянные числа.

Примеры линейных краевых условий: возможны и другие виды условий Если постоянная в правой части краевого условия равна нулю, то условие называется однородным, если не равна нулю — неоднородным. Для уравнения п-го порядка задаются п условий. В разных точках t< условия могут быть одного типа или разных типов. Краевая задача называется однородной, если дифференциальное уравнение и краевые условия линейны и однородны.

В отличие от задачи с начальными условиями краевая задача может иметь одно или много решений, а может и не иметь решений. Например, задача имеет единственное решение у = a sin*, а задача случае Ьф 0 не имеет решений (так как все решения уравнения, для которых у(0) = 0, имеют вид у = с sin t и при t = х они равны нулю), а в случае b = 0 имеет бесконечно много решений у = с sin t, с — любое. Теорема 13 (об альтернативе).

Рассмотрим уравнение Краевые задачи. (все a-(t) и f(t) непрерывны, aQ(t) Ф 0) с п линейными краевыми условиями. Возможны только два случая: или 1) задача имеет единственное решение при любых правых частях в уравнении и краевых условиях, или 2) однородная задача (левые части те же, а правые заменяются нулями) имеет бесконечно много решений, а неоднородная задача при некоторых правых частях имеет бесконечно много решений, а при всех других — не имеет решений.

Если данная задача однородна, то правые части алгебраических уравнений равны нулю. Возможны только два следующих случая. 1) Если детерминант системы не равен нулю, то система имеет единственное решение cp. cn при любых правых частях. Подставляя эти ср. сп в (59), получаем единственное решение краевой задачи. 2) Если детерминант системы равен нулю, то однородная система (т. е. при правых частях, равных нулю) имеет бесконечно много решений относительно ср. сп, а неоднородная система имеет решение не при любых правых частях.

Если она имеет решение, то она имеет бесконечно много решений, так как к этому решению можно прибавить любое решение однородной системы, умноженное на любую постоянную. Для любого набора постоянных ср. сп, удовлетворяющего системе, формула (59) дает решение краевой задачи. Для разных наборов сх. сп эти решения различны, так как функции у<9. уп линейно независимы. Из 1) и 2) следует утверждение теоремы. Пример 17.

Найти наименьшее из таких чисел Ь > О, что задача не имеет решений.

Решение примера. По теореме 13 задача (60) не имеет решений тогда, когда однородная задача у” + Ь2у = 0, у(0) = 0, у(1) = О имеет ненулевое решение. Функции, для которых у” + Ь2у = О, у(0) = 0, имеют вид у = с sin bt. Чтобы при с Ф 0 было у(1) = О, надо sin Ь — 0, то есть Ь = тг, 2х, Зх. При этих b имеем 2-й случай альтернативы, значит, при этих b задача (60) или не имеет решений, или имеет бесконечно много решений. Какая из этих возможностей осуществится, надо проверить.

Для каждого 8 = const функция y(t) = G(t, s) при t Ф s удовлетворяет уравнению Ly = 0. 2° При t = tx и t = t2 функция y(t) = G(t, 5) удовлетворяет краевым условиям из (61). 3° При t = 8 она непрерывна по ty а ее производная по t имеет скачок, равный 1 /а0(*), то есть Краевые задачи. Следующая теорема устанавливает условия существования функции Грина и дает способ ее построения.

Так как первому из краевых условий в (61) удовлетворяет только ур а второму — только у2, то из требований Г и 2° вытекает, что функция G должна иметь вид (63). Из требования 3° вытекают уравнения (64). Система (64) разрешима относительно а и Ь, так как ее детерминант равен (решения у,, у2 линейно независимы). Итак, при выполнении условий теоремы найдутся а и Ь, удовлетворяющие (64), а тогда функция (63) удовлетворяет требованиям Замечание.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Подставляем выражения для y(t) и j/(£) в краевые условия. Так как ^ удовлетворяет первому, а у2 — второму краевому условию, то y(t) удовлетворяет обоим условиям. Дифференцируя (66) еще раз, получаем Сумма внеинтефальных членов в силу . Умножая полученные выражения для и складывая, находим, что равно Так как Итак y(J) — решение задачи (61). i Пример 18.

Найти функцию Грина краевой задачи

Решение примера. Из однородного уравнения получаем Так как , то при задача (67) имеет только нулевое решение, то есть выполнена условие существования функции Грина. Функции cost удовлетворяют уравнению у+ уи условиям у. Поэтому согласно (63) Теперь из условия (62) или, что то же самое, (64) имеем Из этой системы находим а = – cos з, 6 = – sin з.

Теперь из (68) Задачи для упражнений: [12], § 13, № 764-771. |3«| Рассмотрим краевую задачу для уравнения с параметром А где Ly9a9p, 7, б те же, что в (61). Значения А, при которых задача (69) имеет ненулевое решение, называются собственными значениями этой задачи, а сами ненулевые решения — собственными функциями. При тех А, которые являются собственными значениями, имеет место второй случай альтернативы, а при остальных — первый. Пример 19.

Найти собственные значения и собственные функции задачи Решение примера. В силу теоремы 10 ненулевые решения этой задачи могут существовать только при А . Полагаем . Из уравнения и условия у(0) = 0 получаем у = с sin at. Из условия y(d) = 0 следует с sin a J = 0. Чтобы было у =2= 0, надо с.. Поэтому Числа Afc — собственные значения, а функции у = с sin ^ — собственные функции. Задачи для упражнений: [12], § 13, №782-785. Краевые задачи. | 4> | Для различных краевых задач исследовались условия, при которых задача имеет единственное решение.

Важное направление теории краевых задач — спектральная теория, изучающая свойства собственных значений и собственных функций. Выделен класс «самосопряженных» краевых задач, у которых собственные функции ортогональны в пространстве Ь2 на данном отрезке и доказано, что любую гладкую функцию на этом отрезке, удовлетворяющую краевым условиям этой задачи, можно разложить в сходящийся ряд по собственным функциям такой задачи, аналогичный ряду Фурье [30], гл. 7. Такие разложения используются, в частности, при решении различных задач для уравнений с частными производными методом разделения переменных

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.


источники:

http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/osnovy-matematiki-i-ee-prilozheniia-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprynov-b-p/10-4-kraevaia-zadacha-dlia-differentcialnogo-uravneniia-vtorogo-poriadka

http://natalibrilenova.ru/kraevyie-zadachi/