Найти уравнение цилиндрической поверхности с направляющей

Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Тема: Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности

1. Поверхности вращения.

пределение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской линии  вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии.

Пусть , тогда ее можно задать уравнениями

Уравнение поверхности, образованной вращением линии  вокруг оси Oz будет иметь вид:

(1)

2. Цилиндрические поверхности .

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия  и вектор , не параллельный плоскости этой линии.

Определение . Цилиндрической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых параллельных данному вектору и пересекающих данную линию .

иния  называется направляющей цилиндрической поверхности, прямые называются образующими.

Рассмотрим частный случай: направляющая линия  лежит в плоскости xOy : и задается уравнениями: а направляющий вектор образующих имеет координаты , .

В этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет вид

. (2)

Получите уравнение поверхности вращения (1).

Получите уравнение цилиндрической поверхности (2).

Основные типовые задачи.

Составление уравнения поверхности вращения по уравнениям направляющей и оси вращения.

Составление уравнения цилиндрической поверхности по уравнениям направляющей и направляющему вектору образующих.

Примеры решения задач.

Задача 1. В плоскости yOz дана окружность с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением данной окружности вокруг оси Oz .

Уравнения окружности, лежащей в плоскости yOz с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1, имеют вид

(3)

При вращении этой окружности вокруг оси Oz получается поверхность, называемая тором. Пусть М – произвольная точка на торе. Проведем через точку М плоскость , перпендикулярную оси вращения, т.е. оси Oz , в сечении получим окружность. Обозначим центр этой окружности P , а точку пересечения плоскости  с окружностью, образующей поверхность вращения, – N .

Обозначим координаты точки M ( x , y , z ), тогда P (0, 0, z ), а N(0,, z ). Так как точки M и N лежат на окружности с центром в точке P , то

,

.

Последнее равенство запишем в координатах

. (4)

Точка N лежит на окружности, при вращении которой образуется тор, значит ее координаты должны удовлетворять уравнениям (3), запишем первое уравнение системы (3)

,

,

.

Возведем последнее равенство в квадрат.

и подставим выражение для из равенства (4), получим

(5)

Уравнение (5) – искомое.

Ответ: .

Задача 2. Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору <1; 2; –1>.

Пусть точка M ( x , y , z ) – произвольная точка цилиндрической поверхности. Проведем через точку М образующую l , она пересекает направляющую в точке . Так как направляющая лежит в плоскости xOy , то . Составим канонические уравнения прямой l

.

Приравняем первую и вторую дроби к последней

(6)

Точка N лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют ее уравнению:

.

Подставляя выражения для и из системы (6), получим

. (7)

(7) – искомое уравнение.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

Составить уравнение поверхности, образованной вращением параболы , х= 0 вокруг оси Oz .

Составить уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Oy каждой из следующих кривых, расположенной в плоскости xOy :

а) эллипса ;

б) гиперболы ;

в) параболы .

Написать уравнение поверхности, образованной вращением синусоиды вокруг оси Oz .

Напишите уравнение поверхности, образованной вращением прямой , вокруг оси Ox .

Докажите, что поверхность, образованная вращением вокруг оси Oz линии l , заданной уравнениями , имеет уравнение .

Составить уравнение цилиндрической поверхности в каждом из следующих случаев:

а) Направляющая лежит в плоскости и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору <1; 0; 1>;

б) направляющая лежит в плоскости yOz и имеет уравнение , а образующие параллельны оси Ox ;

в) направляющая лежит в плоскости xOz и является окружностью , а образующие параллельны оси Oy.

Напишите уравнение цилиндрической поверхности, если:

а) направляющая задана уравнениями а образующая параллельна вектору ;

б) направляющая задана уравнениями а образующая параллельна прямой x = y = z .

Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а образующая параллельна оси Ox .

Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а образующая перпендикулярна плоскости направляющей.

Цилиндр, образующие которого перпендикулярны плоскости , описан около сферы . Составить уравнение этого цилиндра.

Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, если ось вращения совпадает с осью Oz , а радиус r= 5.

Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси , , и координаты одной из ее точек .

Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси l и координаты одной из ее точек М :

а) , , , М (2; 0; 1);

б) l : , М (2; –1; 1).

Тема: Конические поверхности.

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия  и точка S , не лежащая в плоскости этой линии.

Определение . Конической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых проходящих через данную точку S и пересекающих данную линию .

Линия  называется направляющей конической поверхности, точка S – вершиной, прямые называются образующими.

ассмотрим частный случай: вершина S совпадает с началом координат, направляющая линия  лежит в плоскости, параллельной плоскости xOy : z = c , и задается уравнением: .

В этом случае уравнение конической поверхности имеет вид

. (1)

Если направляющая является эллипсом с центром на оси Oz ,

то получаем поверхность, называемую конусом второго порядка, уравнение этой поверхности имеет вид:

. (2)

Ось Oz в этом случае является осью конуса второго порядка.

Сечения конуса второго порядка:

Пусть плоскость  не проходит через вершину конуса второго порядка, тогда плоскость  пересекает конус:

а) по эллипсу, если  пересекает все образующие конуса;

б) по гиперболе, если  параллельна двум образующим конуса;

в) по параболе, если  параллельна одной образующей конуса.

Получите уравнение конической поверхности (1).

Получите уравнение конической поверхности второго порядка (2).

Основные типовые задачи.

Составление уравнения конической поверхности по координатам вершины и уравнению направляющей.

Примеры решения задач.

Задача 1. Написать уравнение конической поверхности, вершина которой находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями

Пусть точка M ( x , y , z ) – произвольная точка конической поверхности. Проведем через эту точку образующую l , она пересечет направляющую в точке . Запишем канонические уравнения прямой l , как уравнения прямой, проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)

,

.

Выразим из последней системы и : , . Т.к. точка N лежит на направляющей конической поверхности, то ее координаты должны удовлетворять уравнениям направляющей:

(3)

Подставим найденные выражения во второе уравнение системы (3)

,

,

,

. (4)

, . (5)

Подставляем (4) и (5) в первое уравнение системы (3)

,

,

.

Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.

Задачи для самостоятельного решения.

Написать уравнение конической поверхности, если:

а) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (1; 0; 1);

б) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; 1);

в) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; 1).

г) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; с ).

Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке S(1; 2; 4), образующие которой составляют с плоскостью угол =45.

Написать уравнение конической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а вершина находится в точке .

Найти уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат, которая проходит через линию пересечения:

а) гиперболоида и сферы ;

б) эллипсоида и плоскости .

Напишите уравнение круговой конической поверхности, если известны уравнения ее оси l : и координаты одной из ее точек М(3; –4; 5).

Доказать, что уравнение определяет конус с вершиной в начале координат.

Цилиндрические поверхности

Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных дан­ной прямой l, называется цилиндрической поверхностью. При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность и параллельных прямой — образующей. В дальнейшем мы будем рассмат­ривать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости. Рассмотрим в плоскости Оху некоторую линию L, имеющую в системе координат Оху уравнение:

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллель­ными оси Oz, и направляющей L . Покажем, что уравнение этой поверхности есть уравнение (4), если его отнести к системе координат в пространстве Oxyz. Пусть М (х; у; z) -любая фиксиро­ванная точка построенной цилиндрической поверхности. Обозначим через N точку пересечения направляющей L и образующей, прохо­дящей через точку М. Точка N, очевидно, есть проекция точки М на плоскость Оху. Поэтому точки М и N имеют одну и ту же абс­циссу х и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кри­вой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (4) этой кривой. Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и коорди­наты точки М (х; у; z), так как оно не содержит z. Таким образом, координаты любой точки М (х; у;z) данной цилиндрической поверх­ности удовлетворяют уравнению (4). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (4) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость Оху вне кривой L. Таким образом, не содержащее z уравнение F(x, y) = 0, если его отнести к системе координат в пространстве Oxyz, является урав­нением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей L, которая в плоскости Оху задается тем же уравнением F (х, у) = 0.

В пространстве Оху направляющая L определяется системой двух уравнений:

(5)

Алогично можно показать, что уравнение F (x, z) = 0, не содер­жащее у, и уравнение F (у, z) = 0, не содержащее х, определяют в пространстве Oxyz цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Оу и Ох.

Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей.

1. Поверхность, определяемая уравнением

. (6)

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 2). Ее образующие параллельны оси Oz, а направляющей является эллипс с полуосями а и Ь, лежащий в плоскости Оху. В частности, если a = b, то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

2.Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

. (7)

называется гиперболическим цилиндром (рис. 3). Образующие этой поверхности параллельны оси Оу, а направляющей служит расположенная в плоскости Охz гипербола с действительной полуосью a и мнимой полуосью b.

Рис.4.

3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

= 2pz, (8)

Называется параболическим цилиндром (рис.4). Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости Oyz, а образующие параллельны оси Ох.

Замечание. Как известно, прямая в пространстве может быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой. Например, окружность С, получающаяся в сечении плоскостью z = 3 сферы = 25 , может быть задана системой уравнений

(9)

С другой стороны, эта окружность может быть получена как линия пересечения плоскости z = 3 и прямого кругового цилиндра .

В дальнейшем, исследуя форму той или иной поверхности с по­мощью сечений, параллельных координатным плоскостям, мы не разбудем пользоваться цилиндрическими поверхностями, проекти­рующими эти сечения на координатные плоскости. Это позволит так же, как в рассмотренном примере, судить о размерах и форме указанных сечений, а тем самым и о форме исследуемых поверхностей.

Конические поверхности.

Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку Р, называется конической поверхностью. При этом линия L называется направляющей конической поверхности, точка Р — ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность, образующей.

В качестве примера рассмотрим коническую поверхность с вершиной в начале координат, для которой направляющей является эллипс:

(10)

с полуосями а и b, лежащий в плоскости Z = c. Эта поверхность называется конусом второго порядка. Выведем ее уравнение.

Рассмотрим произвольно выбранную точку М (х; у; z ) конической поверхности и проведем через нее образующую ОМ, пересекающуюся с направляющей в точке N (X; Y; с) (рис. 5). Составим уравнение прямой ОМ, проходящей через точки 0 (0; 0; 0) и N (X; У; с)

или .

Отсюда X = cx/z; Y = cy/z. Подставив эти выражения во второе из уравнений эллипса (11), получим , или, после преобразования, .

Мы получили уравнение конуса второго порядка. В частности, если а = b, то направляющей является окружность

а поверхность является прямым круговым конусом. Его уравнение

. (11)

Поверхность вращения.

Пусть линия L, лежащая в плоскости Oyz, задана уравнениями

(12)

Рассмотрим поверхность, образованную вращением этой линии отно­сительно оси Оz (рис. 6). ( Текущие координаты линии L мы обозначаем большими буквами X, Y в Z, чтобы отличить их от текущих координат х, у, z поверхности вращения.)

Эта поверхность называется поверхностью вращения. Найдем ее уравнение. Пусть М (х; у; z) — произвольно выбранная точка поверхности вращения. Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz, и обозначим точки пересечения этой плоскости с осью Oz и кривой L соответственно через К и N. Отрезки КМ и KN являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому КМ = KN. Но длина отрезка KN равна абсолютной величине ординаты Y точки N, т. е. KN = |Y|, a KM = OP = . Следовательно,

| Y |= или Y = . Кроме того, аппликата Z точки N, очевидно, равна аппликате z точки М.

Так как точка N лежит на линии L, заданной уравнениями (12), то координаты Y и Z точки N удовлетворяют второму из этих уравнений. Подставляя в него вместо Y и Z, соответственно, равные им величины и z, получим уравнение:

, (13)

которому удовлетворяют координаты любой точки М (х; у; z) поверхности вращения. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (13) не удовлетворяют. Таким образом, уравнение (13) является уравнением поверхности вращения относительно оси Оz линии L, определяемой уравнениями (12). Уравнение (13) получается из второго уравнения системы (12) заменой в нем координат Y и Z координатами х, у и z по формулам:

(14)

Замечание. Мы считали, что кривая L задана в плоскости Oyz и вращается относительно оси Oz. Однако кривая L может быть задана и в другой координатной плоскости и может вращаться относительно другой координатной оси. Формулы, подобные формулам (12), (13) и (14), легко составить.

Пример. Найти уравнение поверхности вращения эллипса

относительно оси Оz.

Решение. Записав уравнение эллипса в виде

и заменяя в нем по формулам (14) Y и Z текущими координатами х, у и z поверхности вращения, получим искомое уравнение , или

.

Полученная поверхность называется эллипсоидом вращения.

5. Эллипсоид.

Поверхность, определяемая уравнением

. (15)

Называется эллипсоидом. Числа а, b и с называются полуосями эллип­соида. Так как в уравнение (15) текущие координаты входят в чет­ных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей. Чтобы установить форму эллипсоида, будем пересекать его плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Покажем, что если пересечь эллипсоид плоскостью z = h (| h | с эллипсоид с плоскостью z = h, очевидно, не пересекается. Аналогично можно показать, что при пересечении эллипсоида плоскостями х = h (| h | 2 + z 2 = а 2 .

Гиперболоиды.

Поверхность, определяемая уравнением

. (18)

называется однополостным гиперболоидом. Эта поверхность имеет три плоскости симметрии — координатные плоскости, так как текущие координаты х, у и z входят в уравнение (18) в четных степенях. Пересекая однополостный гиперболоид плоскостью у = 0, получим лежащую в плоскости Oxz гиперболу ABCD (рис. 8)

Аналогично, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью х = 0 получится гипербола EFGH

лежащая в плоскости Oyz.

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью z = h получится эллипс BFCG, уравнения которого имеют вид: или

.

Полуоси этого эллипса и возрастают с возрастанием абсолютной величины h . При h = 0 получится эллипс, лежащий в плоскости Оху и имеющий наименьшие полуоси а и b.

При а = b получим однополостный гиперболоид

. (19)

При пересечении его плоскостями z = h получаются окружности

В п. 2 и 3 рассматривались цилиндрические и конические поверхности каждая из которых составлена из прямых. Оказывается, однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, определяемую уравнениями:

(20)

в которых а, b и с — полуоси однополостного гиперболоида, а — произвольно выбранное число ( ).

Перемножив левые и правые части этих уравнений, получим :

, или ,

т. е. получим уравнение однополостного гиперболоида.

Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида является следствием системы уравнений (20). Поэтому координаты любой точки М (х; у; z), удовлетворяющие системе (20), удовлетворяют также и уравнению (18) однополостного гиперболоида. Иными словами, все точки прямой (20) принадлежат гиперболоиду (18). Меняя значения k, мы получим целое семейство прямых, лежащих на поверхности (18). Аналогично можно показать, что однополостному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства:

(21)

Где l — произвольный параметр.

Можно также показать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой каждого из указанных семейств. Таким образом, однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 9). Эти прямые называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида.

Возможность составления поверхности однополостного гиперболоида из прямых линий используется в строительной технике. Так, например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым , в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида.

Поверхность, определяемая уравнением

, (22)

называется двуполостным гиперболоидом.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида. Пересекая эту поверхность координатными плоскостями Oxz и Оуz, получим соответственно гиперболы

и Рис.10

Если двуполостный гиперболоид пересечь плоскостью

z = h (при | h |>c ), то в сечении получится эллипс

и ,

возрастающими при возрастании | h |. При | h | c) получится окружность

радиуса R= .

Параболоиды.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

, (24)

при условии, что р и q имеют одинаковые знаки. В дальнейшем, для определенности, будем считать, что р>0, q>0.

При пересечении эллиптического параболоида координатными плоскостями Oxz и Oyz получатся, соответственно, параболы

и

а при пересечении плоскостью z = h (h >0) — эллипс

с полуосями и (рис. 11). В случае

p = q получим параболоид вращения

. (25)

Поскольку х и у входят в уравнение (24) в четных степенях, эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: Oxz и Oyz.

Рис.11

Рис.12.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

. (26)

при условии, что р и q имеют одинаковые знаки. (В дальнейшем, для определенности, будем считать, что р>0, q>0.)

Пересекая эту поверхность плоскостью Oxz, получим параболу

(27)

При пересечении гиперболического параболоида плоскостью x = h получится парабола

или

При различных значениях h получится целое семейство парабол, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости Oyz и имеющих одинаковый параметр q.

Гиперболический параболоид можно рассматривать как поверхность, описываемую движением любой из этих парабол при условии, что плоскость движущейся параболы остается параллельной плоскости Oyz, ось симметрии параболы остается в плоскости Oxz, а вершина движется по параболе (27). Пересекая гиперболический параболоид плоскостью z = h, получим (при ) гиперболу:

или

Рис.13.

На рис. 12 показано расположение этой гиперболы для двух случаев: h >0 и h

6.2. Цилиндрические поверхности

Или цилиндры. Под цилиндром также понимают геометрическое тело.

И это не совсем то, что обычно подразумевает обыватель – класс цилиндрических поверхностей не ограничивается чёрным цилиндром на голове:

Задача 167

Построить поверхность, заданную уравнением

…что за дела?! Не опечатка ли здесь? Вроде как дано уравнение эллипса…

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности.

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром. Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют).

Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность:

Задача 168

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу.

Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем 4 параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий!

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Часто эту поверхность некорректно называют круговым цилиндром. Круглым! Круговой цилиндр, строго говоря – есть тело, по той причине, что его направляющей является круг. И тело, кстати, определяется неравенством .

Задача 169

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку:

Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте заодно проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность (не круг!) единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Задача 170

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат – выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце книги.

Цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:
– данное уравнение (по знакомым мотивам линий 2-го порядка) задаёт цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси .

Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола.

Задача 171

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение: идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Напоминаю полезный технический приём: если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.
Теперь вторая часть задания, отыскание проекций:

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Задача 172

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину.

Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий – если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа 😉

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы.

Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, и поэтому я ограничился единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра .

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная «школьная» гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.


источники:

http://lektsii.org/3-93020.html

http://mathter.pro/angem/6_2_cilindricheskie_poverhnosti.html