Sin2x 2cos2x укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку п 2 3п 2

Задача 671 а) Решите уравнение.

Условие

а) Решите уравнение cos2x+2cos^2x-sin2x=0
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [3Pi/2;5Pi/2]

Решение

Ответ: В решение

откуда на круге взяли 2?-arttg3?

Подставили n=2, это входит в окружность, значит данный корень принадлежит этому промежутку

Как решить часть б?

Уравнение tgx=a имеет общее x=arctga+πk, k- целое arctga∈[-π/2;π/2]. tgx = — 3 ⇒ x = arctg(-3)+πk = — arcrg3+πk, k- целое При k=0 получим х=-arctg3 этот корень принадлежит отрезку [-π/2;0]. При k=1 получим х= — arctg3 +π. Этот корень принадлежит отрезку [0;π/2]. При k=2 получим х=-arctg3+2π Этот корень на [3π/2;2π]. На единичную окружность надо смотреть как на винтовую лестницу. На первом ее витке от 0 до 2π находятся корни (π/4); (π/4)+π=5π/4; — arctg3 +π и -arctg 3 + 2π. На втором витке от 2π до 4π находятся корни (π/4)+2π; (5π/4)+2π=13π/4; — arctg3 +π+2π=-arctg3+3 π и -arctg 3 + 2π+2π=-arctg3+4π. Точно также можно не подниматься вверх, а спускаться вниз. Тогда на витке от -2 π до 0 получаем корни (π/4)-2π=-7π/4; (5π/4)-2π=-3π/4; — arctg3 +π-2π=-arctg3- π и -arctg 3 + 2π-2π=-arctg3.

Можно более подробное решение части б, и откуда взяли 9п/2?

Уравнение tgx=a имеет общее x=arctga+πk, k– целое arctga∈[–π/2;π/2]. tgx = – 3 ⇒ x = arctg(–3)+πk = – arcrg3+πk, k– целое При k=0 получим х=–arctg3 этот корень принадлежит отрезку [–π/2;0]. При k=1 получим х= – arctg3 +π. Этот корень принадлежит отрезку [0;π/2]. При k=2 получим х=–arctg3+2π Этот корень на [3π/2;2π]. На единичную окружность надо смотреть как на винтовую лестницу. На первом ее витке от 0 до 2π находятся корни (π/4); (π/4)+π=5π/4; – arctg3 +π и –arctg 3 + 2π. На втором витке от 2π до 4π находятся корни (π/4)+2π; (5π/4)+2π=13π/4; – arctg3 +π+2π=–arctg3+3 π и –arctg 3 + 2π+2π=–arctg3+4π. Точно также можно не подниматься вверх, а спускаться вниз. Тогда на витке от –2 π до 0 получаем корни (π/4)–2π=–7π/4; (5π/4)–2π=–3π/4; – arctg3 +π–2π=–arctg3– π и –arctg 3 + 2π–2π=–arctg3.

Задание №958

Условие

а) Решите уравнение 3\sqrt<3>\cos \left(\frac<3\pi><2>+x\right)-3=2\sin^2 x .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2\pi;3\pi] .

Решение

а) Запишем исходное уравнение в виде 2\sin^2 x-3\sqrt<3>\sin x+3=0.

Решая это уравнение как квадратное относительно \sin x , получим

Значит, (\sin x)_<1>=\frac<\sqrt<3>><2>, откуда x=\frac<\pi><3>+2\pi n, n\in \mathbb или x=\frac<2\pi><3>+2\pi m, m \in \mathbb.

Уравнение (\sin x)_<2>=\sqrt <3>корней не имеет.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [2\pi; 3\pi] .

Ответ

а) \frac<\pi><3>+2\pi n, n\in \mathbb, \frac<2\pi><3>+2\pi m, m \in \mathbb;

Решите уравнение 3√2sin(π/2 + х) — 2 = 2cos2x

а) Решите уравнение 3√ 2sin(π/2 + х) — 2 = 2cos 2 x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 5π/2].

а) Запишем исходное уравнение в виде 2*cos 2 x − 3√2*cos x + 2 = 0.

Решая это уравнение как квадратное относительно cos x, получим

Значит, (cos x)1 = √2/2 , откуда x = ± π/4 + 2πn, n ∈ Z.

Уравнение (cos x)2 = √2 корней не имеет.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [3π/2 ; 5π/2] с помощью числовой окружности.

Ответ: а) ± π/4 + 2πn, n ∈ Z; б) 7π/4 , 9π/4 .


источники:

http://academyege.ru/task/958.html

http://ege-today.ru/zadanie-13-ege-po-matematike-uravneniya/17079/