Sinx siny 1 cosx cosy корень из 3 система уравнений

Решить систему тригонометрических уравнений:

sinx — siny = 0.5
cosx + cosy = √(3)/2

Попытался выразить sinx и cosx через 0.5 + siny и √(3)/2 — cosy соответственно, возведя при этом оба уравнения в квадрат и сложив их по формуле sin^2a+cos^2a=1
(0.5 + siny)^2 + (√(3)/2 — cosy)^2 = 1, приведя подобные получил
siny — √(3)cosy + 1 = 0, а дальше ни туда и ни сюда. Есть другие способы решения или я что-то не так делаю?

Все правильно делаешь, ты не заметил одну прикольную вещь. Я начну отсюда:
siny — √(3)cosy + 1 = 0
Поделим на 2:

Ничего не замечаешь?
sin (α-β) = sin (α)·cos(β) — sin(β)·cos(α)
Вместо 1/2 напиши cos60, а вместо √(3) /2 sin60 :
sin(y)·cos(60) — sin(60)·cos(y) = -1/2
Теперь по формуле это дело можно собрать, получится:
sin(y-Pi/3)=-1/2
Удачки 😉

Если ответ по предмету Алгебра отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.

Решение систем тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений бесконечно разнообразны. При их решении используются как общие методы: подстановки, сложения, замены переменной, так и частные, связанные с особенностями преобразований тригонометрических функций.
В этом параграфе мы рассмотрим только некоторые, наиболее характерные, подходы к решению таких систем.

п.1. Системы, в которых одно из уравнений является линейным

Если одно из уравнений системы является линейным, то система решается методом подстановки.

Например:
Решим систему \( \begin x+y=\frac\pi4\\ tgx+tgy=1 \end \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\frac\pi4-x\\ tgx+tg\left(\frac\pi4-x\right)=1 \end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin tgx+\frac<1+tg\frac\pi4\cdot tgx>=1\Rightarrow \frac<1-tgx><1+tgx>=1-tgx \end ОДЗ: \(tgx\ne -1\) \begin 1-tgx=(1-tgx)(1+tgx)\Rightarrow(1-tgx)(1-1-tgx)=0\\ -tgx(1-tgx)=0\\ \begin \left[ \begin tgx=0\\ tgx=1 \end \right. \\ tgx\ne -1 \end \Rightarrow \left[ \begin tgx=0\\ tgx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=\pi k\\ x_2=\frac\pi4+\pi k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x_1=\pi k\\ y_1=\frac\pi4-x=\frac\pi4-\pi k \end \\ \begin x_2=\frac\pi4+\pi k\\ y_2=\frac\pi4-\left(\frac\pi4+\pi k\right)=-\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\pi k;\ \frac\pi4-\pi k\right),\ \left(\frac\pi4+\pi k;\ -\pi k\right)\right\>\)

п.2. Системы с независимыми уравнениями

Если уравнения системы являются независимыми, то они решаются по отдельности. При этом счетчики периодов обязательно должны быть различными (например, \(k\) и \(n\), для двух независимых уравнений).

Например:
Решим систему \( \begin sin(x-y)=0\\ cox(x+y)=1 \end \)
Уравнения независимы, решаем каждое из них, а затем методом сложения находим \(x\) и \(y\): \begin \begin x-y=\pi k\\ x+y=2\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\pi k+2\pi n\\ 2y=2\pi n-\pi k \end \Rightarrow \begin x=\frac<\pi k><2>+\pi n=\frac\pi2(k+2n)=\frac\pi2(2n+k)\\ y=\pi n-\frac<\pi k><2>=\frac\pi2(2n-k) \end \end Ответ: \(\left(\frac\pi2(2n+k);\ \frac\pi2(2n-k)\right)\)

п.3. Системы с произведениями тригонометрических функций

Системы с произведениями тригонометрических функций и приводимые к ним решаются методом сложения.

Например:
Решим систему \( \begin sinx siny=\frac<\sqrt<3>><4>\\ cosx cosy=\frac<\sqrt<3>> <4>\end \)
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы косинуса суммы и разности: \begin \begin cosxcosy+sinxsiny=\frac<\sqrt<3>><2>\\ cosxcosy-sinxsiny=0 \end \Rightarrow \begin cos(x-y)=\frac<\sqrt<3>><2>\\ cos(x+y)=0 \end \end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти \(x\) и \(y\): \begin \begin x-y=\pm\frac\pi6+2\pi k\\ x+y=\frac\pi2+\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\pm\frac\pi6+\frac\pi2+\pi(2k+n)\\ 2y=\frac\pi2\pm\frac\pi6+\pi(n-2k) \end \Rightarrow \begin x=\pm\frac<\pi><12>+\frac\pi4+\frac\pi2(2k+n)\\ y=\frac\pi4\pm\frac<\pi><12>+\frac\pi2(n-2k) \end \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x_1=\frac\pi6+\frac\pi2(2k+n)\\ y_1=\frac\pi3+\frac\pi2(n-2k) \end \\ \begin x_2=\frac\pi3+\frac\pi2(2k+n)\\ y_2=\frac\pi6+\frac\pi2(n-2k) \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac\pi6+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi3+\frac\pi2(n-2k)\right),\ \left(\frac\pi3+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi6+\frac\pi2(n-2k)\right)\right\>\)

п.4. Замена переменных в системах тригонометрических уравнений

Системы двух уравнений с двумя тригонометрическими функциями легко решаются с помощью замены переменных.

Например:
Решим систему \( \begin tgx-siny=4\\ tg^2x+sin^2y=26 \end \)
Замена переменных: \(a=tgx,\ b=siny\) \begin \begin a-b=4\\ a^2+b^2=26 \end \Rightarrow \begin a=b+4\\ (b+4)^2+b^2=26 \end \Rightarrow \begin a=b+4\\ 2b^2+8b-10=0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin a=b+4\\ b^2+4b-5=0 \end \Rightarrow \begin a=b+4\\ (b+5)(b-1)=0 \end \Rightarrow \left[ \begin \begin a=-1\\ b=-5 \end \\ \begin a=5\\ b=1 \end \end \right. \end Переменная \(b=siny\) ограничена: \(-1\leq b\leq 1\).
\(b=-5\lt-1\) не подходит. Остается вторая пара решений: \(\begin a=5\\ b=1 \end \)
Возвращаемся к исходным переменным: \begin \begin tgx=5\\ siny=1 \end \Rightarrow \begin x=arctg5+\pi k\\ y=\frac\pi2+2\pi n \end \end Ответ: \(\left(arctg5+\pi k;\ \frac\pi2+2\pi n\right)\)

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений: a) \( \begin x+y=\pi\\ sinx+siny=\sqrt <3>\end \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\pi-x\\ sinx+sin(\pi-x)=\sqrt <3>\end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin sinx+sinx=\sqrt<3>\Rightarrow 2sinx=\sqrt<3>\Rightarrow sinx=\frac<\sqrt<3>><2>\Rightarrow\\ \Rightarrow x=(-1)^k\frac\pi3+\pi k= \left[ \begin \frac\pi3+2\pi k\\ \frac<2\pi><3>+2\pi k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x=\frac\pi3+2\pi k\\ y=\pi-x=\pi-\frac\pi3-2\pi k=\frac<2\pi><3>-2\pi k \end \\ \begin x=\frac<2\pi><3>+2\pi k\\ y=\pi-x=\pi-\frac<2\pi><3>-2\pi k=\frac\pi3-2\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac\pi3+2\pi k;\ \frac<2\pi><3>-2\pi k\right),\ \left(\frac<2\pi><3>+2\pi k;\ \frac\pi3-2\pi k\right)\right\>\)

б) \( \begin sinxcosy=\frac34\\ cosxsiny=\frac14 \end \)
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы синуса суммы и разности: \begin \begin sinxcosy+cosxsiny=1\\ sinxcosy-cosxsiny\frac12 \end \Rightarrow \begin sin(x+y)=1\\ sin(x-y)=\frac12 \end \end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти \(x\) и \(y\): \begin \begin x+y=\frac\pi2+2\pi k\\ x-y=(-1)^n\frac\pi6=\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\frac\pi2+(-1)^n\frac\pi6+\pi(2k+n)\\ 2y=\frac\pi2-(-1)^n\frac\pi6+\pi(2k-n) \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x=\frac\pi4+(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k+n)\\ y=\frac\pi4-(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k-n) \end \end Ответ: \(\left(\frac\pi4+(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi4-(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k-n)\right)\)

в) \( \begin cos\frac<2>cos\frac<2>=\frac12\\ cosxcosy=\frac14 \end \)
Используем формулу произведения косинусов: $$ cosxcosy=\frac12(cos(x+y)+cos(x-y)) $$ Получаем: \begin cos\frac<2>cos\frac<2>=\frac12\left(cos\left(\frac<2>+\frac<2>\right)+cos\left(\frac<2>-\frac<2>\right)\right)=\\ =\frac12(cosx+cosy)\\ \begin \frac12(cosx+cosy)=\frac12\\ cosxcosy=\frac14 \end \Rightarrow \begin cosx+cosy=1\\ cosxcosy=\frac14 \end \end Замена переменных: \(a=cosx,\ b=cosy\) \begin \begin a+b=1\\ ab=\frac14 \end \Rightarrow \begin a=1-b\\ (1-b)b=\frac14 \end \Rightarrow \begin a=1-b\\ b^2-b+\frac14=0 \end \Rightarrow \begin a=1-b\\ \left(b-\frac12\right)^2=0 \end \Rightarrow \begin a=\frac12\\ b=\frac12 \end \end Возвращаемся к исходным переменным: \begin \begin cosx=\frac12\\ cosy=\frac12 \end \Rightarrow \begin x=\pm\frac\pi3+2\pi k\\ y=\pm\frac\pi3+2\pi n \end \end Получаем четыре пары решений.
Ответ: \( \left\< \begin \left(-\frac\pi3+2\pi k;\ -\frac\pi3+2\pi n\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi k;\ \frac\pi3+2\pi n\right),\\ \left(-\frac\pi3+2\pi k;\ \frac\pi3+2\pi n\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi k;\ -\frac\pi3+2\pi n\right) \end \right\> \)

г) \( \begin x+y=\frac23\\ 2cos(\pi x)+4cos(\pi y)=3 \end \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\frac23-x\\ 2cos(\pi x)+4cos\left(\pi\left(\frac23-x\right)\right)=3 \end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin 2cos(\pi x)+4cos\left(\frac<2\pi><3>-\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)+4\left(cos\frac<2\pi><3>cos\pi x+sin\frac<2\pi><3>sin\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)+\left(\left(-\frac12\right)cos\pi x+\frac<\sqrt<3>><2>sin\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)-2cos(\pi x)+2\sqrt<3>sin\pi x=3\\ sin\pi x=\frac<\sqrt<3>><2>\Rightarrow \pi x= \left[ \begin \frac\pi3+2\pi k\\ \frac<2\pi><3>+2\pi k \end \right. \Rightarrow x= \left[ \begin \frac13+2k\\ \frac23+2k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x=\frac13+2k\\ y=\frac23-x=\frac13-2k \end \\ \begin x=\frac23+2k\\ y=-2k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac13+2k;\ \frac13-2k\right),\ \left(\frac23+2k;\ -2k\right)\right\>\)

Пример 2*. Решите систему уравнений:
a) \( \begin \sqrtcosx=0\\ 2sin^2x-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0 \end \)
Первое уравнение является независимым. Решаем его, чтобы найти \(x\): \begin \begin \left[ \begin cos2x=0\\ cosx=0 \end \right.\\ cos2x\geq 0 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin 2x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right.\\ -\frac\pi2+2\pi k\leq 2x\leq\frac\pi2+2\pi k \end \Rightarrow \begin \left[ \begin x=\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right.\\ -\frac\pi4+\pi k\leq x\leq\frac\pi4+\pi k \end \end

Семейство решений \(x=\frac\pi2+\pi k\) не подходит по требованию ОДЗ (закрашенные сектора).
Остается только: \begin x=\frac\pi4+\frac<\pi k> <2>\end

Подставляем полученный \(x\) во второе уравнение: \begin 2sin^2\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\right)-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0 \end Используем формулу понижения степени: \(2sin^2x=1-cos2x\) \begin 2sin^2\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\right)=1-cos\left(2\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\right)\right)=1-\underbrace_<=0>=1 \end Получаем: \begin 1-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0\Rightarrow cos\left(2y-\frac\pi3\right)=1\Rightarrow 2y-\frac\pi3=2\pi n\Rightarrow\\ \Rightarrow 2y=\frac\pi3+2\pi n\Rightarrow y=\frac\pi6+\pi n \end Ответ: \(\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>;\ \frac\pi6+\pi n\right)\)

б) \( \begin tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>cos^3y\\ tg\left(\frac\pi4-x\right)=2\sqrt<2>sin^3y \end \)
Рассмотрим произведение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)\cdot tg\left(\frac\pi4-x\right)=\frac<1+tgx><1-tgx>\cdot \frac<1-tgx><1+tgx>=1 $$ Умножим уравнения и получим: \begin 1=8cos^3ysin^3y=(2cosysiny)^3=sin^32y\Rightarrow sin2y=1\Rightarrow 2y=\frac\pi2+2\pi k\\ y=\frac\pi4+\pi k \end Поставляем полученный y в первое уравнение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>cos^3\left(\frac\pi4+\pi k\right) $$ Косинус равен ±1, в зависимости от четверти, в которой находится угол \(y\): \begin cos\left(\frac\pi4+\pi k\right)= \left[ \begin \frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y=\frac<\pi><4>+2\pi k\\ -\frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y=\frac<5\pi><4>+2\pi k \end \right. \end В первом случае: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>\cdot\left(\frac<\sqrt<2>><2>\right)^3=1\Rightarrow\frac\pi4+x=\frac\pi4+\pi n\Rightarrow x=\pi n $$ Во втором случае: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>\cdot\left(-\frac<\sqrt<2>><2>\right)^3=-1\Rightarrow\frac\pi4+x=-\frac\pi4+\pi n\Rightarrow x=-\frac\pi2+\pi n $$ Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x=\pi n\\ y=\frac\pi4+2\pi k \end \\ \begin x=-\frac\pi2+\pi n\\ y=\frac<5\pi><4>+2\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\pi n;\ \frac\pi4+2\pi k\right),\ \left(-\frac\pi2+\pi n;\ \frac<5\pi><4>+2\pi k\right)\right\>\)

в) \begin \begin \sqrt<1+sinxsiny>=cosx\\ 2sinxctgy+1=0 \end \end ОДЗ: \( \begin 1+sinxsiny\geq 0\\ cosx\geq 0\\ cosy\ne 0 \end \Rightarrow \begin cosx\geq 0\\ cosy\ne 0 \end \)
\(1+sinxsiny\geq 0\) — это требование всегда выполняется.
Возведем первое уравнение в квадрат: \begin 1+sinxsiny=cos^2x\Rightarrow 1-cos^2x+sinxsiny=0\Rightarrow\\ \Rightarrow sin^2x+sinxsiny=0\Rightarrow sinx(sinx+siny)=0\Rightarrow \left[ \begin sinx=0\\ sinx+siny=0 \end \right. \end Из второго уравнения следует, что \(sinx=0\) никогда не является решением \((0+1\ne 0)\). Значит, остается \(sinx+siny=0\) \begin \begin sinx+siny=0\\ 2sinxctgy+1=0 \end \Rightarrow \begin siny=-sinx\\ ctgy=-\frac<1> <2sinx>\end \Rightarrow cosy=siny\cdot ctgy=\frac12\Rightarrow\\ \Rightarrow y=\pm arccos\frac12+2\pi k=\pm\frac\pi3+2\pi k\\ sinx=-siny\Rightarrow \left[ \begin x=y+\pi=\pi\pm\frac\pi3+2\pi n= \left[ \begin \frac<4\pi><3>+2\pi n\\ \frac<2\pi><3>+2\pi n \end \right. \\ x=-y=\pm\frac\pi3+2\pi n \end \right. \end По ОДЗ \(cosx\geq 0\), подходят только нижние корни.
Получаем две пары решений.
Ответ: \(\left\<\left(-\frac\pi3+2\pi n;\ \frac\pi3+2\pi k\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi n;\ -\frac\pi3+2\pi k\right)\right\>\)

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>
С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac <2>\) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac <2>— 4 \text\frac <2>+1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac <2>= y \) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0


источники:

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/reshenie-sistem-trigonometricheskih-uravnenij/

http://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-equality