Степенная функция равносильные уравнения и неравенства

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №19. Равносильные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие равносильного уравнения;

2) понятие равносильного неравенства;

3) понятие уравнения-следствия;

4) основные теоремы равносильности.

Глоссарий по теме

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Два уравнения с одной переменной

f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

1) Уравнения равносильны, т.к. каждое из них имеет только один корень х=3.

2) Уравнения также равносильны, т.к. у них одни и те же корни .

3) А вот уравнения не равносильны, потому что у первого уравнения корень х=2, а у второго уравнения два корня х=2 и х=-2.

Из определения равносильности следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот.

Решение уравнения осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

  • Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
  • Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
  • Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
  • В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Из курса средней школы мы знаем, что можно сделать следующие преобразования уравнений: любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одной и то же число, не равное нулю.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

  1. если ва уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
  2. если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений главное- не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Стоит отметить, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное; а вот потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Итак, сформулируем основные теоремы, которые используются при решении равносильных уравнений:

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и туже нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение (где а > 0, a≠1)

равносильно уравнению f(x) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение равносильное данному в его ОДЗ.

Краткая запись теорем 4, 5.

4. f(x) = g(x) ⇔h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ , где f(x)≥0, g(x)≥0

и n=2k (чётное число).

Например, х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

  1. Неравенства и x-3 x-1 не равносильны, так как решениями первого являются числа x 1, а решениями второго- числа x>-1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.

Равносильные уравнения и неравенства, иррациональные уравнения

Вы будете перенаправлены на Автор24

Равносильность уравнений

Два уравнения $f_ <1>(x)=g_ <1>(x)$ с областью определения $M_ <1>$ и $f_ <2>(x)=g_ <2>(x)$ с областью определения $M_ <2>$ называются равносильным на множестве $\subseteq _ <1>\bigcap _ <2>$, если они имеют одни и те же решения или не имеют решений на этом множестве.

Если уравнения равносильны на множестве $M=M_ <1>\bigcap M _ <2>$, то будем говорить просто, что они Б-равносильны.

Пусть даны три уравнения: $f_ <1>(x)=g_ <1>(x)$(1) с областью определения $M_ <1>$; $f_ <2>(x)=g_ <2>(x)$ (2) с областью определения $_ <2>$; $f_ <3>(x)=g_ <3>(x)$с областью определения$_ <3>$. И пусть $M\subseteq M_ <1>\bigcap M_ <2>\bigcap M_ <3>$. Тогда, если уравнение (1) равносильно уравнению (2) на множестве $M$, уравнение (2) равносильно уравнению (3) на множестве $M$, то уравнение (1) равносильно уравнению (3) на множестве $A$.

Если одну или обе части данного уравнения тождественно преобразовать, то получим уравнение, Б-равносильное данному.

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же математическое выражение, то получим уравнение, Б-равносильное данному.$(f(x)=g(x))\mathop<\Leftrightarrow >\limits^<> (f(x)+\varphi (x)=g(x)+\varphi (x))$

При этом область определения данного уравнения и нового совпадают.

Уравнения $f(x)=g(x)$(1) и $f(x)\varphi (x)=g(x)\varphi (x)$(2), где $\varphi (E)$не равно нулю в области определения уравнения (1), Б-равносильны.

Готовые работы на аналогичную тему

Уравнение $f_ <1>(x)f_ <2>(x). f_ (x)=0$(1) и совокупность уравнений

Уравнения $f(x)=g(x)$(1) и (2) $f^ <2n+1>(x)=g^ <2n+1>(x),$ где $n\in N$, Б-равносильны.

Уравнение $f(x)=g(x)$(1) равносильно уравнению (2) $f^ <2n>(x)=g^ <2n>(x),$где $n\in N$, на множестве решений неравенства $f(x)g(x)\ge 0$.

Следствие. Уравнение $\sqrt[<2n>] =g(x)$ Б-равносильно системе $\left\<\begin (x),> \\ \end\right. $

Уравнение $f^ (x)=g^ (x),$ где $n\in N$, является следствием уравнения$f(x)=g(x)$.

Уравнение $a^ =a^ $, где $a>0,a\ne 1$, Б-равносильно уравнению $f(x)=g(x)$

Следствие 1. Уравнение $\log _ f(x)=\log _ g(x),$ где $a>0,a\ne 1$

Б-равносильно каждой из систем

Равносильность неравенств

Два неравенства, у первого з которых область определения $_ <1>$, у другого $_ <2>$, называются равносильными на множестве $\subseteq _ <1>\bigcap _ <2>$, если они имеют одни и те же решения или не имеют решений на этом множестве.

Если неравенства равносильны на множестве $M=M_ <1>\bigcap M _ <2>$, то будем говорить просто, что они Б-равносильны.

Пусть даны три неравенства: (1) с областью определения $M_ <1>$; (2) с областью определения $M_ <2>$; (3) с областью определения $M_ <3>$. И пусть $M\subseteq M_ <1>\bigcap M _ <2>\bigcap M_ <3>$. Тогда, если неравенство (1) равносильно неравенству (2) на множестве $M$, неравенство (2) равносильно неравенству (3) на множестве $M$, то неравенство (1) равносильно неравенству (3) на множестве $M$.

Если одну или обе части данного неравенства тождественно преобразовать, то получим неравенство, Б-равносильное данному.

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же математическое выражение, то полученное неравенство того же смысла Б-равносильно данному.

Если обе части неравенства умножить на одно и то же выражение , принимающее в области определения данного неравенства только положительные (отрицательные) значения, то полученное неравенство того же (противоположного) смысла Б-равносильно данному.

Неравенство $f(x)\varphi (x) >0$ Б-равносильно совокупности двух систем

Презентация по алгебре и началам математического анализа в 10 классе на тему «Равносильные уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными

Уравнения 9x-5=5x+3 и 4x=8 равносильны, так как каждое из них имеет только один корень x=2. Уравнения (x-3)(x+7)=0 и x2+4x-21=0 также равносильны, так как они имеют одни и те же корни x1=3, x2=-7. Уравнения 2x=4 и 3×2=12 не равносильны, так как первое имеет корень x=2, а второе – корни x1=2, x2=-2.

Из определения равносильности уравнений следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, если каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

Любой член уравнения можно переносить из одной части в другую, изменив его знак на противоположный; Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. При этих преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение.

Например: При возведении в квадрат обеих частей уравнения √x=x-2 получается уравнение x=(x-2)2, не равносильное исходному: первое уравнение имеет только один корень x=4, а второе – два корня x1=4, x2=1. В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения.

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого; Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

Уравнения 4х – 3 = 2х + 5 и 4х – 2х = 5 + 3 Неравенства х2 > 1 и x2 – 1 > 0

Уравнения х2/4 = 1 и х2 = 4 (х2-4)(х2+ 4) =0 и х2 – 4 =0 Неравенства (х-3)/(х2 +1) 0 и (x + 1)2 + 1. » onclick=»aa_changeSlideByIndex(13, 0, true)» >

Уравнения х2 +3х = 0 и х (х+3) = 0 Неравенства х2 + 2х + 2 > 0 и (x + 1)2 + 1 > ) ; √x2 – 3

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 305 человек из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 595 628 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

  • 13.04.2020
  • 132
  • 15
  • 13.04.2020
  • 139
  • 1
  • 13.04.2020
  • 2253
  • 564
  • 13.04.2020
  • 266
  • 4
  • 13.04.2020
  • 177
  • 8
  • 13.04.2020
  • 287
  • 7
  • 13.04.2020
  • 255
  • 3
  • 13.04.2020
  • 129
  • 4

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 13.04.2020 4044
  • PPTX 2.6 мбайт
  • 1055 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Филиппова Татьяна Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

  • На сайте: 5 лет и 5 месяцев
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 143778
  • Всего материалов: 293

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.


источники:

http://spravochnick.ru/matematika/stepennaya_funkciya/ravnosilnye_uravneniya_i_neravenstva_irracionalnye_uravneniya/

http://infourok.ru/prezentaciya-po-algebre-i-nachalam-matematicheskogo-analiza-v-10-klasse-na-temu-ravnosilnye-uravneniya-i-neravenstva-4249463.html