Циклическая частота из уравнения плоской синусоидальной волны

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

ГлавнаяЦеныОплатаПримеры решенийОтзывыCcылкиТеорияКнигиСотрудничествоФорум
Теория / Оптика / 1.2. Уравнение плоской волны. Принцип суперпозиции волн.

Волна называется плоской, если ее волновые повеpхности пpедставляют собой паpаллельные дpуг дpугу плоскости, пеpпендикуляpные фазовой скоpости волны (pис.1.3). Следовательно, лучи плоской волны — суть паpаллельные пpямые.

Если кооpдинатную ось х напpавить вдоль фазовой скоpости волны v, то вектоp Е, описывающий волну, будет пpедставлять собой функцию только двух пеpеменных: кооpдинаты х и вpемени t (E = f(x,t)).

Рассмотpим плоскую волну, пpофиль котоpой по оси х с течением вpемени не изменяется. Такая волна называется волной без диспеpсии.

На pис.1.4 изобpажены два пpофиля волны, относящиеся к pазличным моментам вpемени: начальному (t0 = 0) и пpоизвольному (t).

В волне без диспеpсии пpофиль волны только пеpемещается, но не искажается. Если так, то нетpудно сообpазить, как выглядит функция f(x,t) (уpавнение волны). Если в начальный момент вpемени вектоp Е изобpажался некотоpой функцией кооpдинаты f(x,0), то в момент вpемени t он будет изобpажаться той же функцией, но только не кооpдинаты х, а мещенной кооpдинаты х*.

Из pис.1.4 видно, что кооpдинаты х и х* связаны между собой пpостой зависимостью:

Таким обpазом, уpавнение плоской волны без диспеpсии имеет следующий вид:

или

Здесь v есть фазовая скоpость волны, а вид функции f может быть любым. Наиболее интеpесными являются пеpиодические синусоидальные волны, когда функция f пpедставляет собой синус или косинус аpгумента (синус и косинус отличаются дpуг от дpуга только сдвигом по фазе на /2). В качестве аpгумента синуса не м ожет быть пpосто (x-vt), т.к. эта величина pазмеpная, тогда как аpгумент синуса должен быть безpазмеpным. Поэтому синусоидальная волна описывается следующим уpавнением:

А называется амплитудой волны, k — волновым числом. Смысл амплитуды ясен, а каков смысл волнового числа? Рассмотpим волну в момент вpемени t0 = 0. Она описывается уpавнением E = Asinkx. Обозначим чеpез длину волны, т.е. пеpиод волны в пpостpанстве (чеpез отpезок длины фаза повтоpяется). Пеpиод синуса pавен 2. Следовательно, можно записать, что 2= k. Отсюда:

Итак, волновое число пpедставляет собой число длин волн, укладывающихся на отpезке 2 метpов. В каждой точке пpостpанства вектоp Е совеpшает гаpмонические колебания. Найдем частоту этих колебаний. С этой целью фиксиpуем точку пpостpанства и pассмотpим Е как функцию вpемени: E = Asin(kx0-kvt). Но гаpмонические колебания описываются функцией sin(— wt). Таким обpазом, мы пpиходим к заключению, что циклическая частота волны связана с волновым числом зависимостью

Если учесть, что волновое число связано с длиной волны (1.4), и вместо циклической частоты ввести обыкновенную частоту (как число колебаний в секунду ), то легко найдем фоpмулу связи длины волны с ее частотой:

Длина волны обpатно пpопоpциональна ее частоте.

Электpомагнитные волны (как, впpочем, и звуковые) подчиняются пpинципу супеpпозиции, суть котоpого заключается в следующем. Пpедставим два или несколько источников волн. Пусть источники pаботают независимо дpуг от дpуга. Каждый источник испускает свои волны, и в пpостpанстве, окpужающем источники, обpазуется сложное волновое поле.

Пpинцип супеpпозиции волн гласит, что волны от pазличных источников не взаимодействуют дpуг с дpугом и что сложное волновое поле от двух или большего числа источников находится путем геометpического сложения волн от отдельных источников, т.е.

Это очень важный пpинцип. Он позволяет не только складывать волны, но и pаскладывать их, напpимеp, на независимые синусоидальные волны. Это означает, что любую волну, т.е. волну пpоизвольного пpофиля, всегда можно пpедставить как сумму синусоидальных волн с pазличными амплитудами, с pазличными фазовыми скоpостями, с pазличными частотами и с pазличными начальными фазами. (Кстати, аpгумент синуса полностью опpеделяет вектоp Е пpи условии, если известна его амплитуда. Поэтому аpгумент синуса в уpавнении синусоидальной волны называют фазой синусоидальной волны. Таким обpазом, пpоизвольную (даже не обязательно плоскую) волну всегда можно пpедставить в виде суммы плоских волн, движущихся в pазличных напpавлениях и имеющих pазные частоты. Этой возможностью pазложения волн шиpоко пользуются во всей теоpии электpомагнитных волн, в частности в оптике.

Рассмотpим плоскую волну в виде коpоткого сигнала (см. pис. 1.1). Если такую волну pазложить по синусоидальным волнам, то оказывается, что частоты ее составляющих лежат в некотоpом интеpвале (непpеpывно его заполняя). Сигнал составляет как бы гpуппу или пакет волн (такое название сигнала и пpинято в оптике). Допустим, что pассматpиваемая волна является волной с диспеpсией. Это означает, что каждая синусоидальная ее составляющая имеет свою фазовую скоpость. Одни составляющие будут обгонять дpугие. Это пpиведет к тому, что гpуппа волн пpи пеpемещении будет pасплываться. В этом случае для хаpактеpистики скоpости волны вводится гpупповая скоpость. Как она опpеделяется? Допустим, что на интеpвал частот пpиходится соответственно интеpвал волновых чисел . Тогда гpупповой скоpостью называют oтношение интеpвала к интеpвалу , т.е.

Cледовательно, если волна не имеет диспеpсии и все ее составляющие «бегут» с одной и той же скоpостью, то . В этом случае гpупповая скоpость совпадает с фазовой, что имеет место, если электpомагнитная волна pаспpостpаняется в вакууме.

Мы будем изучать электpомагнитные волны, излучаемые атомами (световые волны). Что хаpактеpно для атомов и молекул как излучателей света? Каждый вид атомов излучает свет вполне опpеделенных частот. Набоp частот света, излучаемого атомом (или молекулой), называется его спектpом. Однако если атомы связаны между собой, обpазуя твеpдое тело или жидкость, то их спектpы в сильной степени тpансфоpмиpуются и пpиходится говоpить не о спектpах отдельных атомов, а о спектpах всего тела. Спектpы твеpдых тел и жидкостей почти сплошные, т.е. сплошь заполняют целые интеpвалы частот, тогда как спектpы газов, где атомы большее вpемя пpебывают вне взаимодействия дpуг с дpугом, — дискpетные (линейчатые) и хаpaктеpизуют спектpы атомов как таковых.

Атомы газа (твеpдого тела, жидкости) излучают свет независимо дpуг от дpуга и не непpеpывно, а лишь в течение малых пpомежутков вpемени. Последнее — понятно. Атом, излучая, теpяет энеpгию. Его энеpгия, запасенная на излучение, конечна. Если атом эту энеpгию излучил, то, чтобы вновь излучать, он должен получить энеpгию извне, он должен, как говоpят, вновь быть возбужден. Очевидно заpанее, до всяких теоpий, что атомы излучают световые волны коpоткими очеpедями, каждый pаз пpедваpительно поглощая энеpгию извне.

Эти элементаpные сообpажения свидетельствуют о том, что свет от естественных источников всегда сложен. Он состоит из множества более или менее коpотких пакетов волн pазличных частот, pазличных напpавлений движения, pазличных фаз, волн, наложенных дpуг на дpуга. Коpоче говоpя, свет от естественных источников, во всех отношениях непpавильный, сложный.

Однако существуют сpавнительно пpостые способы из сложной световой волны выделять волны опpеделенного напpавления (плоские волны) и опpеделенной частоты. Волны опpеделенной частоты называются монохpоматическими. Но монохpоматические волны, выделенные из естественного света, если они даже и движутся в одном напpавлении (плоские волны), еще не пpедставляют собой синусоидальные волны. Эти волны состоят из наложенных дpуг на дpуга кусков синусоид, беспоpядочно идущих от отдельных атомов. В пpостpанстве такой свет отнюдь не согласован по фазе. Это обстоятельство существенно пpи pазбоpе таких волновых явлений, как интеpфеpенция, дифpакция и поляpизация света.

Техническая акустика и защита от шума. Лекция №2 Уравнение плоской синусоидальной волны.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Техническая акустика и защита от шума
Лекция №2
Уравнение плоской синусоидальной волны. Волновое число.
Уравнение сферической волны
Диапазоны частот акустических волн.
Понятия шума, основного тона, обертона, тембра музыкальных звуков.
Громкость звука, порог слышимости, порог осязания.
Уровень интенсивности акустических волн. Ультразвук.

! ! ! Волна называется плоской, если ее волновые повеpхности пpедставляют собой паpаллельные дpуг дpугу плоскости, пеpпендикуляpные фазовой скоpости волны
6 Уравнение плоской синусоидальной волны. Волновое число

S зависит не только от времени, но и от
координаты.
v — скорость распространения волны, А — амплитуда волны, аргумент синуса — фаза волны, 𝜑 0 — начальная фаза колебаний в точке х = 0, 𝜔 — частота (циклическая) волны.
Уравнение имеет вид:

Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний, называется ДЛИНОЙ ВОЛНЫ 𝜆=𝜈𝑇.

Введем ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО k, равное:
𝑘= 2𝜋 𝜆
Тогда уравнение плоской волны примет вид:
𝑆=𝐴∙sin⁡ 𝜔𝑡−𝑘𝑥+ 𝜑 0
http://koi.tspu.ru/waves/ch4_2.htm

При записи уравнения сферической волны учитывается, что амплитуда волны убывает с расстоянием от источника:
𝑆= 𝐴 0 𝑟 sin⁡(𝜔𝑡− 𝑘∙𝑟 + 𝜑 0 )
𝑘 − ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР, модуль которого 𝑘 равен волновому числу, а направление совпадает с направлением луча распространения волны.
7 Уравнение сферической волны
http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/PHIZIK/PHIZIK/LAB_RAB/SKOROST_ZVUKA/MAIN.HTM

Инфразвуковой — ниже 20 Гц.
Звуковой — от 20 Гц до 20 кГц (в него полностью укладывается диапазон средне статистических людей слышимых человеческим ухом частот). Более 20 кГц человеческое ухо может услышать диапазон. Изначально с рождения ребёнок слышит ультразвук с частотой более 20 кГц, но после в возрастом происходит уплотнение стен перепонок.
Ультразвуковой — от 20 кГц до 100кГц.
Гиперзвуковой — свыше 100кГц.

8 Диапазоны частот акустических волн

Шкала диапазона частот

Шум — беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложностью временной спектральной структуры.

Шум – одновременное сочетание звуков различной частоты.
9 Понятия шума, основного тона, обертона, тембра музыкальных звуков.

Чистый тон — это звук , совершающий гармонические колебания одинаковой частоты.
Звуки разных источников (например разные музыкальные инструменты, человеческий голос, звуки посторонних предметов и т.д ) вместе составляют совокупность гармонических колебаний разных частот.
Основной частотой называется самая маленькая частота этого многосоставного звука, а звук который ей соответствует и он определенной высоты называется основным тоном.

ОБЕРТОН (от нем. Oberton — высокий тон, высокий звук) — синусоидальная составляющая звуковых колебаний сложной формы с частотой, более высокой, чем основной тон.
Любое периодическое колебание можно представить как сумму основного тона и обертонов, причём частоты и амплитуды этих обертонов определяются как физическими свойствами колебательной системы, так и способом её возбуждения.

Если частоты всех обертонов — целые кратные основной частоте, то такие обертоны называют гармоническими или гармониками. Если же частоты зависят от основной частоты более сложным образом, то говорят о негармонических обертонах. В этом случае представление периодических колебания в виде суммы гармоник будет приближённым, но тем более точным, чем большее число гармоник взято.

Если частота основного тона f (первая гармоника), то частота второй гармоники равна 2f или близка к этому значению, частота третьей 3f и т. д. Состав и количество обертонов сложного звука определяет его качественную окраску, или тембр звука.

Те́мбр (фр. timbre — «колокольчик», «метка», «отличительный знак») — колористическая (обертоновая) окраска звука; одна из специфических характеристик музыкального звука (наряду с его высотой, громкостью и длительностью).

По тембрам отличают звуки одинаковой высоты и громкости, но исполненные на различных инструментах, разными голосами, или же на одном инструменте, но разными способами, штрихами и т. п.

При восприятии тембров обычно возникают различные ассоциации: тембральную специфику звука сравнивают с органолептическими ощущениями от тех или иных предметов и явлений, например, звуки называют яркими, блестящими, матовыми,тёплыми, холодными, глубокими, полными, резкими, насыщенными, сочными, металлическими, стеклянными; применяются и собственно слуховые определения (например, звонкие, глухие, шумные).

Человек номинально слышит звуки в диапазоне от 16 до 20 000 Гц.
Диапазон громкости воспринимаемых звуков огромен. Но барабанная перепонка в ухе чувствительна только к изменению давления. Уровень давления звука принято измерять в децибелах (дБ).
10 Громкость звука, порог слышимости, порог осязания

Нижний порог слышимости определён как 0 дБ (20 микропаскаль) 20∙10-5 Па, а определение верхнего предела слышимости относится скорее к порогу дискомфорта и далее — к нарушению слуха, контузии и т. д. Этот предел зависит от того, как долго по времени мы слушаем звук. Ухо способно переносить кратковременное повышение громкости до 120 дБ без последствий, но долговременное восприятие звуков громкостью более 80 дБ может вызвать потерю слуха.

Минимальный порог, при котором звук остаётся слышен, зависит от частоты. График этой зависимости получил название абсолютный порог слышимости. В среднем, он имеет участок наибольшей чувствительности в диапазоне от 1 кГц до 5 кГц, хотя с возрастом чувствительность понижается в диапазоне выше 2 кГц.

Человеческий слух во многом подобен спектральному анализатору, то есть ухо распознаёт спектральный состав звуковых волн без анализа фазы волны. В реальности фазовая информация распознаётся и очень важна для направленного восприятия звука, но эту функцию выполняют ответственные за обработку звука отделы головного мозга.

Разница между фазами звуковых волн, приходящих на правое и левое ухо, позволяет определять направление на источник звука, причём информация о разности фаз имеет первостепенное значение, в отличие от изменения громкости звука воспринимаемого разными ушами.

Порогом осязания ( порогом болевого ощущения) называется наибольшая интенсивность звуковой волны, при которой восприятие звука не вызывает болевого ощущения. Порог осязания зависит от частоты звука, изменяясь от 0,1 Вт/м2 при 6000 Гц до 10 Вт/м2 при низких и высоких частотах.

Интенсивность звука — скалярная физическая величина, характеризующая мощность, переносимую звуковой волной в направлении распространения. Количественно интенсивность звука равна среднему по времени потоку звуковой энергии через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения звука:
𝐼= 1 𝑇 𝑡 𝑡+𝑇 𝑑𝑃 𝑑𝑆 𝑑𝑡
11. Уровень интенсивности акустических волн, интенсивность. Ультразвук

Звуки способны сильно различаются по интенсивности, потому удобнее рассматривать интенсивность как логарифмическую величину и измерять в децибелах (дБ). Логарифмическая величина интенсивности представляет собой логарифм отношения рассматриваемого значения величины к ее значению, принимаемому за исходное.

Уровень интенсивности I по отношению к некоторой условно выбранной интенсивности I0 равен:
𝛽=10𝑙𝑔 𝐼 𝐼 0 , дБ
Таким образом, один звук, превышающий другой по уровню интенсивности на 20 дБ, превышает его в 100 раз по интенсивности.

Ультразву́к — упругие колебания в среде с частотой за пределом слышимости человека. Обычно под ультразвуком понимают частоты выше 20 000 Гц.

Частота ультразвуковых колебаний, применяемых в промышленности и биологии, лежит в диапазоне от нескольких десятков КГц до единиц МГц. Высокочастотные колебания обычно создают с помощью пьезокерамических преобразователей, например, из титанита бария. В тех случаях, когда основное значение имеет мощность ультразвуковых колебаний, обычно используются механические источники ультразвука. Первоначально все ультразвуковые волны получали механическим путем (камертоны, свистки, сирены).

В природе УЗ встречается как в качестве компонентов многих естественных шумов (в шуме ветра, водопада, дождя, в шуме гальки, перекатываемой морским прибоем, в звуках, сопровождающих грозовые разряды, и т. д.), так и среди звуков животного мира. Некоторые животные пользуются ультразвуковыми волнами для обнаружения препятствий, ориентировки в пространстве и общения (киты, дельфины, летучие мыши, грызуны).

В медицине (УЗИ)
Применение ультразвука в косметологии
Резка и сварка металла
Приготовление гомогенных смесей
В биологии
Чистка в промышленности и быту
Применение ультразвука в эхолокации
Применение ультразвука в расходометрии
В дефектоскопии
В гальванотехнике

Свисто́к Га́льтона — акустический излучатель, работающий по принципу свистка (рассечение воздушного потока клином, расположенным рядом с акустическим резонатором). Первое изобретенное устройство для получения ультразвука.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

  • Курс добавлен 31.01.2022
  • Сейчас обучается 25 человек из 16 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

  • Сейчас обучается 40 человек из 24 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 591 288 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

  • 29.12.2020
  • 86
  • 3
  • 29.12.2020
  • 77
  • 0
  • 29.12.2020
  • 84
  • 0

  • 29.12.2020
  • 96
  • 1

  • 29.12.2020
  • 98
  • 3

  • 29.12.2020
  • 91
  • 0

  • 29.12.2020
  • 147
  • 1

  • 29.12.2020
  • 206
  • 7

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 09.12.2020 260
  • PPTX 1018.8 кбайт
  • 0 скачиваний
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Паршина Кира Максимовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

  • На сайте: 1 год и 1 месяц
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 24537
  • Всего материалов: 230

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Циклическая частота из уравнения плоской синусоидальной волны

4.1. Механические колебания.

4.2. Электрические колебания.
4.3. Упругие волны. Акустика.
4.4. Электромагнитные волны. Излучение.
_______________________________________________________________________________________________

4.1. Механические колебания.

4.1.1. Гармонические колебания.

4.1. 1 -1. Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой А и периодом Т = 12 с. Найти время t ₁ , за которое смещение частицы изменяется от 0 до А/2.

Решение:

Т = 12 с
х(0) = 0
х( t ₁) = А/2 (1)
t ₁ – ?
Так как начальное положение частицы х(0) = 0, то частица колеблется по закону синуса с начальной фазой ϕ ₀ = 0:
x = Asin ( ωt + ϕ ₀) или
x = Asinωt , (2)
где ω = 2 π / T – круговая частота.
С учётом условия (1), запишем (2) в виде:
х( t ₁) = Asin ( ωt ₁); А/2 = Asin ( (2 π / T ) t ₁ ); 1/2 = sin (2 πt ₁/ T ); 2 πt ₁/ T = π /6. Отсюда
t ₁ = T /12.
t₁ = 12/12 = 1 с.
Ответ: t₁ = T/12 = 1 c.

4.1.1-2. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

где − I момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса А (см. рис.); x = AO = R − расстояние от точки подвеса до центра тяжести О диска; m − масса диска; g = 9,8 м/с² − ускорение свободного падения.
Момент инерции I ₀ диска относительно оси симметрии диска:
I ₀ = mR
²/2.
По теореме Штейнера:
I = I₀ + mR². Имеем
I = mR²/2 + mR² = 3mR²/2. Тогда по (1)

Решение:
r ( t ) = A ( icosωt + jsinωt ) (1)
A = 0,5 м
ω = 5 с⁻¹
v − ?
an − ?
Представим (1) в виде:
r ( t ) = iAcosωt + jAsinωt (1*)
Радиус вектор r ( t ) точки: r ( t ) = ix + jy , где x , y − проекции радиус вектора соответственно на оси OX и OY ; i , j − единичные векторы (орты), направленные соответственно по оси OX и OY . Тогда (1*) примет вид
ix + jy = iAcosωt + jAsinωt ,
отсюда получим два уравнения
x = Acosωt , (*)
y = Asinωt . (**)
Возведём их в квадрат
x ² = A ² cos ² ωt ,
y ² = A ² sin ² ωt .
Сложим эти уравнения
x ² + y ² = A ² cos ² ωt + A ² sin ² ωt или x ² + y ² = A ²( cos ² ωt + sin ² ωt ). Отсюда, т.к. cos ² ωt + sin ² ωt = 1, получим уравнение траектории движения точки
x ² + y ² = A ². (2)
Уравнение (2) − это уравнение окружности радиусом R = A = 0,5 м с центром в начале координат (см. рис.).
Найдём проекции скорости v x и vy . Для этого продифференцируем x и y из (*) и (**) по времени t :
vx = xt ʹ = ( Acosωt ) t ʹ = — Aωsinωt ;
vy = yt ʹ = ( Asinωt ) t ʹ = Aωcosωt .
Тогда квадрат скорости
v ² = vx ² + vy ² или v ² = (- Aωsinωt )² + ( Aωcosωt )² или v ² = A ² ω ²( sin ² ωt + cos ² ωt ) или v ² = A ² ω ². Отсюда модуль скорости v :
v = Aω . (3)
v = 0,5·5 = 2,5 м/с².
Модуль нормального ускорения an : an = v ²/ R или, с учётом (3) и R = A , получим an = A ² ω ²/ A или
an = Aω ².
an = 0,5·5² = 12,5 м/с².
Ответ: траектория − окружность радиусом R = A = 0,5 м с центром в начале координат, v = Aω = 2,5 м/с², an = Aω ² = 12,5 м/с².

_______________________________________________________________________________________________

4.1.2. Свободные затухающие колебания.

4.1.2-1.
Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в n = 100 за 15 с. Чему равен коэффициент затухания β ?

Решение:

t = 15 c
n = 100
A = A ₀/ n (*)
β – ?
Зависимость амплитуды А затухающих колебаний от времени t :
A = A ₀ e — β t , (1)
где A ₀ – начальная амплитуда; β – коэффициент затухания.
Имеем из (1) и (*):
A ₀/ n = A ₀ e — β t ; 1/ n = e — β t ; e β t = n ; βt = ln ( n ) отсюда
β = ln ( n )/ t .
β = ln(100)/15 = 0,307 1/c.
Ответ: β = ln(n)/t = 0,307 1/c.

4.1.2-2. Найти логарифмический декремент затухания тонкого стержня, подвешенного за один из его концов, если за промежуток времени t = 5 мин его полная механическая энергия уменьшилась в n = 4 · 10 ² раз. Длина стержня L = 50 см.

Решение:
t = 5 мин = 300 с
n = 400
L = 0,5 м
λ − ?
В данном случае стержень − это физический маятник.
Логарифмический декремент затухания λ
λ = βT
, (1)
где β – коэффициент затухания, T − период колебаний стержня.

1. Найдём коэффициент затухания β .
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² — β². (2)
ω – частота затухающих колебаний; ω ₀ – собственная частота колебаний.
Зависимость от времени t полной механической энергии Е физического маятника:
Е =
E ₀ e -2 βt ,
где E ₀ – начальная (при t = 0) полная механическая энергия.
Отсюда имеем
n = Е ₀/ Е = Е ₀/( E ₀ e -2 βt ) = 1 /( e -2 βt ) = e 2 βt .
Получили n = e 2 βt . Прологарифмируем это равенство Ln ( n ) = 2 βt . Отсюда
β = Ln ( n )/(2 t ). (3)

2. Найдём период Т затухающих колебаний.
Оценим коэффициент β 2 по (3).
β = Ln (400)/(2 · 300) = 0,009986, отсюда
β ² = (0,009986)² ≈ 0,0000997.
Собственная частота колебаний физического маятника:

Подставим в (1) найденные β из (3) и Т из (4**) и, после упрощения, получим

4.1.2-3. Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0,02. Определите: время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз; число колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.

Решение:
ν = 50 Гц
λ = 0,02
n = 20
t − ?
N − ?
1. Пусть β – коэффициент затухания; T = 1/ ν – период, ν – частота колебаний. Логарифмический декремент затухания λ :
λ = βT
или λ = β / ν , отсюда
β = λν . (1)
Амплитуда А затухающих колебаний
A = A ₀· e — βt ,
где A ₀ − начальная амплитуда (при t = 0).
Подставим сюда из условия задачи A = A ₀/ n :
A ₀/ n = A ₀· e — βt ,
отсюда e βt = n и, после логарифмирования, βt = Ln ( n ), отсюда
t = ( Ln ( n ) )/ β и, с учётом (1),
t = ( Ln ( n ) )/( λν ). (2)

2.
Число колебаний N за время t :
N = t / T = tν = ( и, с учётом (2), ) = ν ( Ln ( n ) )/( λν ) или
N = ( Ln ( n ) )/ λ . (3)

3.
Вычисления по формулам (2) и (3):
t = ( Ln (20) )/(0,02·50) ≈ 3 с.
N = ( Ln (20) )/0,02 ≈ 150.
Ответ: t = ( Ln ( n ) )/( λν ) ≈ 3 с; N = ( Ln ( n ) )/ λ ≈ 150.

4.1.2-4. Составьте дифференциальное уравнение гармонических свободных затухающих крутильных колебаний механической системы.

Решение:
Пусть система (например, тонкий однородный диск, подвешенный в горизонтальном положении к упругой нити) совершает крутильные колебания относительно закреплённой оси Z (ось нити). Пусть на диск действует упругая сила, проекция момента которой на ось Z равна
Mz = — kϕ , (1)
где k − постоянная, ϕ − угол поворота из положения равновесия. Знак “минус” указывает на то, что при отклонении системы на угол ϕ , момент упругой силы возвращает систему к положению равновесия. Поместим диск в вязкую среду ( например, жидкость ). Момент силы сопротивления Mc , действующий на диск, пропорционален угловой скорости ϕ ʹ:
M c = — ηϕ ʹ, (2)
где η − постоянная.
Уравнение динамики вращательного движения диска имеет вид
Iϕ ʹʹ = Mz + M c , (3)
где I – момент инерции диска относительно оси вращения.
С учётом (1) и (2), уравнение (3) примет вид Iϕ ʹʹ = — kϕ — ηϕ ʹ, отсюда
ϕ ʹʹ + ( η / I ) ϕ ʹ + ( k / I ) ϕ = 0.
Применив обозначения 2 β = η / I , ω ₀² = k / I , перепишем последнее уравнение:
ϕ ʹʹ + 2 βϕ ʹ + ω ₀² ϕ = 0.
Это дифференциальное уравнение описывает затухающие крутильные колебания механической системы.
Ответ: ϕ ʹʹ + 2 βϕ ʹ + ω ₀² ϕ = 0.

4.1.2-5. Найти добротность Q осциллятора, у которого отношение резонансной частоты ωрез к частоте затухающих колебаний ω равно η.

Решение:
ωрез/ω = η (*)
Q − ?
Пусть β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, T = 2π/ω − период затухающих колебаний, λ = βT = 2πβ/ω − логарифмический декремент затухания. Тогда добротность Q:
Q = π/λ = π/(2πβ/ω), или
Q = ω/(2β). (1)
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² — β². (2)
Формула для резонансной частоты ωрез:
ωрез² = ω₀² — 2β². (3)
Из (2) вычтем (3)
ω² — ωрез² = (ω₀² — β²) — (ω₀² — 2β²), или
ω² — ωрез² = ω₀² — β² — ω₀² + 2β², или
ω² — ωрез² = β². (**)
С учётом условия (*) имеем ωрез = ωη. Тогда (**) примет вид
ω² — ω²η² = β², или
ω²(1 — η²) = β², отсюда

___________________________________________________________________________________

4.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4.1.3-1. Осциллятор массы m движется по закону x = Asinωt под действием вынуждающей силы Fₓ = F₀cosωt. Найти коэффициент затухания β осциллятора.

Решение:
m,
x = Asinωt,
Fₓ = F₀cosωt,
β − ?
Установившееся смещение х(t) осциллятора при вынужденных колебаниях:
x = Acos(ωt — ϕ), (1)

ω₀ − собственная частота колебаний осциллятора,
f₀ = F₀/m. (*)
Так как по условию смещение х(t) осциллятора x = Asinωt, то из (1) следует: ϕ = π/2
(т. к. cos(ωt — π/2) = sinωt). Тогда из (3) имеем:

где f₀ = F ₀/ m , m − масса осциллятора , β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, ω − частота вынужденных колебаний.
При постоянной амплитуде вынуждающей силы F ₀ (и, следовательно, постоянной f ₀) из (*) при двух разных частотах ω₁ и ω₂ получаем две амплитуды А₁ и А₂ вынужденных колебаний:

4.2. Электрические колебания.

4.2-1. Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной направлению внешнего магнитного поля. При изменении индукции этого поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5 раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало.

Решение:
T ₁/ T ₂ = η = 5
B ₂/ B ₁ − ?
Момент сил М, действующий на стрелку со стороны магнитного поля
М = [ B · P m ], где P m − вектор магнитного момента стрелки.
Модуль момента сил
М = B · P m · sinϕ , где ϕ – угол между векторами B и P m .
При малых колебаниях угол ϕ очень мал и sinϕ ≈ ϕ . Тогда
М = B · P m · ϕ .
При повороте стрелки на угол ϕ возникает момент сил М , стремящийся вернуть стрелку в положение равновесия, т.е. М = — B · P m · ϕ . Если J – момент инерции стрелки относительно оси вращения, то основное уравнение динамики вращательного движения примет вид
Jϕ ’’ = M или Jϕ ’’ = — B · P m · ϕ отсюда
ϕ ’’ + ( B · P m / J ) · ϕ = 0. (1)
Если ω – циклическая частота колебаний, то сравнивая (1) с уравнением гармонических колебаний
ϕ ’’ + ω ² ϕ = 0, получим
ω ² = B · P m / J , отсюда
ω = √( B · P m / J ).
Тогда период T колебаний
T = 2 π / ω или
T = 2 π √( J /( B · P m ) ). (2)
На основе (2) для разных B ₁ и B ₂ получим соответствующие T ₁ и T ₂
T ₁ = 2 π √( J /( B ₁ · P m ) )
T ₂ = 2 π √( J /( B ₂ · P m ) ).
Отсюда
T ₁/ T ₂ = √( B ₂/ B ₁) и отсюда
B ₂/ B ₁ = ( T ₁/ T ₂)² = η ² = 25. Итак
B ₂/ B ₁ = η ² = 25.
Ответ: индукция магнитного поля увеличится в η ² = 25 раз.

4.2-2. Индуктивность катушки равна 0,125 Гн. Уравнение колебаний силы ток в ней имеет вид:
i = 0,4 cos (1000 t ), где все величины выражены в системе СИ. Определить амплитуду напряжения на катушке.

Решение:
L = 0,125 Гн
i = 0,4 cos (1000 t ). (1)
Um − ?
Уравнение колебаний силы тока в катушке имеет вид:
i = Imcos ( ωt ). (2)
Из (1) и (2) имеем
Im = 0,4 А − амплитуда силы тока в катушке; ω = 1000 с⁻¹− частота.
Индуктивное сопротивление катушки: X L = ωL .
По закону Ома
Im = Um / X L , отсюда
Um = X L · Im или
Um = ωL · Im .
Um = 1000·0,125·0,4 = 50 В.
Ответ: Um = 50 В.

4.2-3. Электрический колебательный контур состоял из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L = 0,8 Гн и конденсатора емкостью С. Сопротивление катушки и соединительных проводов было равно R = 2000 Ом. После того, как часть витков в катушке замкнулась накоротко, индуктивность ее уменьшилась в n = 7 раз, частота собственных колебаний в контуре возросла в k = 3 раза, а коэффициент затухания этих колебаний не изменился. Определить емкость конденсатора .

Решение:
L = 0,8 Гн
R = 2000 Ом
L ₂ = L / n
n = 7
ω ₂ = kω
k = 3
β = const
C − ?
Коэффициент затуханий β = R /(2 L ).
ω и ω ₂ − начальная и конечная частоты собственных колебаний в контуре, где
ω = √( 1/( LC ) — β ² ) = √( 1/( LC ) — R ²/(4 L ²) );
ω ₂ = √( 1/( L ₂ C ) — β ² ) = √( n /( LC ) — R ²/(4 L ²) ).
Возведём в квадрат равенство ω ₂ = kω , получим ω ₂² = k ² ω ² или
n /( LC ) — R ²/(4 L ²) = k ²( 1/( LC ) — R ²/(4 L ²) ), отсюда
C = 4 L ( k ² — n )/( R ²( k ² — 1) ).
C = 4·0,8·(3² — 7)/( 2000²·(3² — 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.
Ответ: C = 4L(k² — n)/( R²(k² — 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.

4.2-4. Ток в колебательном контуре зависит от времени как I = Imsinω₀t, где Im = 9,0 мА, ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹. Ёмкость конденсатора С = 0,50 мкФ. Найти индуктивность контура и напряжение на конденсаторе в момент t = 0.

Решение:

I = Imsinω₀t (*)
Im = 9·10⁻³ А
ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹
С = 0,5·10⁻⁶ Ф
L − ?
U(0) − ?
1). Собственная частота ω₀ колебательного контура

1
L = ––––– . (1)
ω₀²C
2). Закон сохранения энергии в колебательном контуре:
LI²/2 + CU²/2 = LIm²/2
или, с учётом (*),
L(Imsinω₀t)²/2 + CU²/2 = LIm²/2.
Отсюда при t = 0 (т.к. sinω₀0 = 0) получим напряжение U(0) = Um на конденсаторе в момент времени t = 0 ( Um − максимальное напряжение ):
CU²(0) = LIm²
и, подставляя сюда L из (1), получим
Im²
CU²(0) = ––––– или
ω₀²C
Im
U(0) = Um = –––– . (2)
ω₀C
Вычисления по формулам (1) и (2 ):
1
L = –––––––––––––––– = 0,001 Гн = 1 мГн.
(4,5·10⁴)²·0,5·10⁻⁶
9·10⁻³
U(0) = Um = –––––––––––––– = 0,4 В.
4,5·10⁴·0,5·10⁻⁶

4.3. Упругие волны. Акустика.

4.3-1. По шнуру слева направо бежит со скоростью v незатухающая гармоническая волна. При этом поперечное смещение точки О шнура изменяется по закону y = Acos ( ωt ). Как зависит от времени смещение точки шнура, находящейся правее точки О на расстоянии x от нее?

Решение:

y = Acos ( ω ( t — x / v ) ).
Ответ: y = Acos ( ω ( t – x / v ) ).

4.3-2. Уравнение плоской звуковой волны имеет вид ξ = 60 cos (1800 t — 5,3 x ). где ξ – в мкм, t – в секундах, х – в метрах .
Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и её связь с амплитудой колебаний скорости частиц среды.

а) Уравнение плоской синусоидальной волны
ξ = Acos(ωt – kx). (2)
Из (1) и (2) следует
A = 60 ·10 ⁻ ⁶ м – амплитуда колебаний частиц среды,
ω = 1800 1/с – циклическая частота,
k = 5,3 1/м – волновое число.
k = 2π/λ, отсюда λ = 2π/k. Тогда
A/λ = A/(2π/k) или
A/λ = Ak/(2π).
A / λ = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 5,3/(2 · 3,14) = 5,1 ·10 ⁻ ⁵ .

б) Амплитуда колебаний скорости частиц среды
V m = Aω . (*)
Vm = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 1800 = 0,11 м/с. = 11 см/с.
Скорость распространения волны
v = ω / k . (3)
Тогда ( см. (*) )
Vm/v = Aω / ( ω / k ) = A k .
Vm/v = A k .
Vm/v = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 5,3 = 3,2 ·10 ⁻ ⁴ .

в) Относительную деформацию среды найдём дифференцируя (2) по х:
∂ ξ/ ∂ x = ( Acos(ωt – kx) )x ʹ = — Aksin (ωt – kx).

Ответ: a) A/λ = 5,1 ·10 ⁻ ⁵ ;
б)
Vm = 0,11 м/с, Vm/v = 3,2 ·10 ⁻ ⁴;
в)
( ∂ ξ/ ∂ x)m = 3,2 ·10 ⁻ ⁴, V m = v · (d ξ/dx)m , где v = 340 м/с – скорость волны .

4.3-3. Что такое амплитуда колебаний скорости частиц среды?

Решение:
Объясню на простом примере. В озере на воде поплавок. Бросьте в воду камешек, от него во все стороны пойдут волны. Поплавок колеблется на волнах. Скорость колебаний поплавка − это скорость колебаний частиц среды (воды). Максимальная скорость колебаний поплавка − это амплитуда колебаний скорости частиц среды.
Амплитуда колебаний скорости частиц среды
Vm = Aω ( A — амплитуда, ω — циклическая частота).
Скорость распространения волны
v = ω / k ( k — волновое число).
A , ω , k определяют из общего вида уравнения бегущей плоской синусоидальной волны
ξ = Acos ( ωt – kx ).

4.3-4. Точечный изотропный источник испускает звуковые колебания с частотой ν = 1,45 кГц. На расстоянии r₁ = 5 м от источника амплитуда смещения частиц среды А₁ = 50 мкм, а в точке А, находящейся на расстоянии r₂ = 10 м от источника, амплитуда смещения в η = 3 раза меньше А₁. Найти:
а) коэффициент затухания волны γ;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды в точке А.

Решение:
ν = 1450 Гц
r₁ = 5 м
А₁ = 50·10⁻⁶ м
r₂ = 10 м
А₂ = А₁/η (η = 3) (*)
а) γ − ?
б) Vm − ? (в точке А)
От данного точечного источника распространяются сферические волны. Для однородной поглощающей среды уравнение сферической волны:

(1)
где ξ − смещение частиц среды; ω = 2πν − циклическая частота; k − волновое число.

а). Из (1) выпишем амплитуду A смещения частиц среды (множитель перед косинусом):
A = (A₀/r)·e⁻ᵞʳ.
Отсюда для r = r₁ и r = r₂ получаем амплитуды смещения частиц среды A₁ и A₂ соответственно
A ₁ = ( A ₀ / r ₁ ) · e ⁻ ᵞ r₁ , (**)
A ₂ = ( A ₀ / r ₂ ) · e ⁻ ᵞ r ₂ . (***)
Делим (**) на (***) и, с учётом (*), получаем:

η = ( r ₂ / r ₁ ) · e ᵞ ⁽ r ₂ ⁻ r₁ ⁾ отсюда η r ₁ / r ₂ = e ᵞ ⁽ r ₂ ⁻ r₁ ⁾ , отсюда, по определению логарифма, имеем

ln ( η r ₁ / r ₂ ) = γ( r ₂ — r ₁ ), отсюда

γ = ln(3 · 5 /10 )/(10 — 5 ) ≈ 0,08 м ⁻ ¹ .

б). Для нахождения скорости смещения частиц среды V найдём частную производную по времени t от (1):
V = ∂ ξ / ∂ t = ( A ₀ / r ) · e ⁻ ᵞ ʳ ·( — ω sin ( ω t — kr ) ).
С учётом ω = 2πν, имеем
V = — ( 2 π ν A ₀ /r ) ·e ⁻ ᵞ ʳ ·sin ( ω t-kr ) .
Отсюда амплитуда колебаний скорости частиц среды Vm (множитель перед синусом):

4.3-5. Плоская звуковая волна, частота которой 100 Гц и амплитуда 5 мкм, распространяется со скоростью 300 м\с в воздухе, плотность которого равна 1 , 2 кг\м ³ . Определить интенсивность волны.

Решение:
ν = 100 Гц
а = 5·10⁻⁶ м
V = 300 м\с
ρ = 1,2 кг\м³
I − ?
Интенсивность I звуковой волны
I = ρ а² ω ² V /2 и т.к. ω = 2 πν , то
I = ρ а²(2 πν )² V /2.
I = 1,2·(5·10⁻⁶)²·(2·3,14·100)²·300/2 = 1,77·10⁻³ Вт/м².
Ответ: I = 1,77·10⁻³ Вт/м².

4.3-6. Стальная струна длины l = 100 см и диаметра d = 0,50 мм даёт основной тон частоты ν = 256 Гц. Найти силу её натяжения.

Решение:
l = 1 м
d = 0,5·10⁻³ м
ν = 256 Гц
ρ = 7800 кг/м³ (плотность стали)
F − ?
В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны. Основной тон частоты ν колебаний струны:
ν = V/2l, отсюда
V = 2lν, (1)
где

− фазовая скорость поперечных волн в струне. Отсюда

F = V²ρ₁ , (2)
где ρ₁ = m/l − линейная плотность струны, m = ρV₀ − масса струны, V₀ = (πd²/4)l = πd²l/4 − объём струны.
Имеем: ρ₁ = ρV₀/l = ρ(πd²l/4)/l = ρπd²/4. Получили
ρ₁ = ρπd²/4. (3)
Подставляя в (2) V из (1) и ρ₁ из (3), получим силу натяжения F струны
F = (2lν)²ρπd²/4, или
F = πρ(lνd)².
F = 3,14·7800· (1·256·0,5·10⁻³)² ≈ 401,3 Н.
Ответ: F = πρ(lνd)² ≈ 401,3 Н.

_______________________________________________________________________________________________

4.4. Электромагнитные волны. Излучение.

4.4-1. Электромагнитная волна с частотой 6 · 10 ¹⁴ Гц распространяется в стекле, показатель преломления которого 1,5. Какова скорость волны в стекле и значение волнового числа?

Решение:

ν = 6 · 10¹⁴ Гц
n = 1,5
c = 3 · 10⁸ м/с (скорость света в вакууме)
V – ? k – ?
Скорость V волны в стекле:
V = c / n . (1)
Длина волны в стекле:
λ = V / ν = c /( nν ). (*)
Волновое число k:
k = 2 π / λ или с учётом (*)
k = 2 πnν /с. (2)
Вычисления по (1), (2)
V = 3 · 10⁸/1,5 = 2 · 10⁸ м/с.
k = 2 · 3,14 · 1,5 · 6 · 10¹⁴/(3 · 10⁸) = 1,88 · 10⁷ (1/м).
Ответ: V = 2 · 10⁸ м/с; k = 1,88 · 10⁷ (1/м).

4.4-2. Определить показатель преломления призмы из парафина , если его диэлектрическая проницаемость Ԑ = 2 и магнитная проницаемость μ = 1.

Решение:
Ԑ = 2
μ = 1
n – ?
Показатель преломления среды
n = C / V . (1)
С – скорость света в вакууме.
Скорость света в среде
V = C /√( Ԑμ ). (2)
Из (1) и (2) имеем
n = √( Ԑμ ).
n = √(2·1) = 1,41.
Ответ: n = 1,41.
___________________________________________________________________________________


источники:

http://infourok.ru/tehnicheskaya-akustika-i-zashita-ot-shuma-lekciya-2-uravnenie-ploskoj-sinusoidalnoj-volny-4880073.html

http://www.sites.google.com/site/viktortsekunov/services/fizika/4-kolebania-i-volny