Уравнение плоскости 11 класс план урока

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Скачать:

ВложениеРазмер
sostavlenie_uravneniy_sfery_ploskosti_pryamoy.docx32.08 КБ

Предварительный просмотр:

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.

Справочный материал и примеры.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n 1; n 2 ) Координаты точки ( х 0 ; у 0 ) .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n 1 (x-х 0 )+n 2 (y-у 0 )=0

Общее уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax +By+Cz+D=0 , где коэффициенты A, B, C, D одновременно не равны нулю.

Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:

A(x-х 0 )+B(y-у 0 )+C(z-z 0 )=0

Уравнение поверхности сферы:

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (R – радиус сферы)

Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.

(x−a) 2 +(y−b) 2 +(z−c) 2 =R 2 (R — радиус сферы; a, b, c — смещение центра сферы относительно центра координат)

Задания для практической работы:

  1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
  2. Найти центр и радиус сферы (х+ 4) 2 + (y —3) 2 + z 2 =100.
  3. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
  4. Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)
  5. Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)
  6. Доказать, что уравнение х 2 + у 2 + z 2 —2х+ 4у—6z+ 5 = 0, является уравнением сферы.
  7. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).
  8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).
  1. Какой вид имеет общее уравнение плоскости?
  2. Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
  3. Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
  4. Какой вид имеет общее уравнение прямой?
  5. Какой вид имеет уравнение сферы?

Урок геометрии 11 класс «Углы между плоскостями» подготовка к ЕГЭ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ углы между плоскостями.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение задач по теме « Углы между плоскостями в призмах» Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)

C2 Углы между…. Расстояния от….. прямыми; плоскостями. прямой и плоскостью; точки до прямой; скрещивающимися прямыми. точки до плоскости;

« Углы между плоскостями»

Две пересекающиеся плоскости образуют ……………………. пары ………………. между собой двугранных углов. Величина двугранного угла измеряется величиной …………………………………… ……………………….. угла Чтобы построить ………………………………. угол двугранного угла, надо взять на ………………………. ………………………………….. точку, и в каждой …………………….. провести к …………………… …………………………….. полупрямые. Величина двугранного угла равна величине …………………… ……………….. этого двугранного угла. Уравнение плоскости …………………………………………. . Косинус угла между векторами равен ………………………………………… Косинус угла между плоскостями равен ……………………………………………….

Составить уравнение плоскости

пл.(AMB1) пл.(AMB1) пл.(AMB1)

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2, точка D – середина СС1. Найдите угол между пл. (АВС) и пл.(ADB1).

1.Введём систему координат:… .. …..- ………………… ……………………, ……- ………… ОУ, …… — …………..ОZ. 2. Определим координаты необходимых точек: С1 (……;…….;…….), С(……;…….;…….), D1 (……;…….;…….), K(……;…….;…….), М(……;…….;…….). Составим уравнения плоскости: (D1МК): …….a + …….b + …….c + d = 0, …….a + …….b + …….c + d = 0, …….a + ……b + …….c + d =0. a =…….d, b = ……d, c = ……d. (CC1D1): ….a + …….b + …….c + d = 0, ….a + …….b + …….c + d = 0, ….a + ……b + …….c + d =0. a =…….d, b = ……d, c = ……d. 4. Cos ((D1МК); (CC1D1)) = …………………………………………………………….. 5. n1 (…….;……..), n2 (…….;…….). 6. n1·n2 = …………….. + ………………….. n1 =……………………………………………………………. n2 =……………………………………………………………. Значит, Cos ((D1МК); (CC1D1)) = ……- …… ОХ,

BHB1 = А…..F (по т. ……………………) AF2 =…………………………………………………… и (………….). Для этого построим сечение ……………………… плоскостью (…………..)

Решить задачу двумя способами

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов)

Спасибо за урок!

http://www.csjonquiere.qc.ca/fichiers/images/big_devoirs___487____phototeque.jpg http://kostino.ucoz.ru/umor/13.jpg http://wiw21.volsk-sh-3.edusite.ru/images/0cb2c0928637.png http://8.nezihsezer.com/ine_coordinate_geometry.png http://novacia72.ru/d/383128/d/Nach-131.jpg

Выбранный для просмотра документ урок.doc

Решение задач по теме «Углы между плоскостями в призмах»

Учитель: Лупу Т.В., учитель математики МОБУ «Волховская городская гимназия»

Класс: 11 (социально-экономическая группа)

Место проведения: МОБУ «Волховская городская гимназия»

Дата: 22. 09 2012

Урок проводился на областном семинаре «Организация подготовки к государственной итоговой аттестации в рамках работы с одарённым детьми»

Тема урока: Решение задач по теме «Углы между плоскостями в призмах»

Тип урока: урок закрепления знаний

Место урока в курсе геометрии: А.В.Погорелов «Геометрия 10-11 класс»

систематизация основных методов решения задач по теме урока.

формирование и развитие общеучебных умений и навыков: обобщения, сравнения, анализа, синтеза, поиска способов решения. Развитие пространственных представлений средствами компьютерной анимации.

воспитание культуры групповой работы, культуры работы с интерактивной доской, воспитание внимания, взаимопомощи .

Геометрия полна приключений,

потому что за каждой задачей скрывается

приключение мысли. Решить задачу –

это значит пережить приключение.

Класс делится на три разно уровневые группы по 5 человек.

Актуализация знаний. В задачах С2 ЕГЭ прошлых лет просматриваются два типа задач: задачи на нахождение углов (между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями) и задачи на нахождение расстояний (от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми). Слайд 2.

Слайд 3. Часто искомым углом был угол между плоскостями в призме, поэтому тема сегодняшнего урока Решение задач по теме «Углы между плоскостями в призмах»

Проверка домашнего задания

Слайд 4 Группам выдаются рабочие листы №1(приложение №1).

В течение 7 минут заполнить пропуски и объяснить свои ответы.

Как и большинство задач, задачи С2 можно решить различными способами.

Один из них координатно-векторный.

Вот с него мы и начнём.

Впервые с координатами в пространстве мы встретились в 10 классе, и уже тогда началась наша работа по подготовке к решению задач С2.

Различные варианты введения системы координат в различных телах, определение координат точек, составление уравнения плоскости, координаты вектора, координаты нормали к плоскости – всё это темы прошлого учебного года. Эти знания нам сегодня очень пригодятся.

Начнём мы с уравнения плоскости.

Слайд 5. Задания группам: Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки с заданными координатами.

Проверка у доски с объяснениями.

Но в задачах очень редко задаются координаты точек.

Слайд 6. В следующей задаче, прежде чем составить уравнение плоскости, надо ввести систему координат.

Слайд №7. Каждой группе задаётся различное начало отсчёта.

Полученные результаты записываются на ИД. Сравниваем полученные уравнения (они оказались разными).

Найти косинус угла между плоскостями (АВС) И (АМВ1).

Слайд 8. Представители каждой группы записывают решение на ИД.

Почему уравнения плоскости (АМВ1) в группах различные, а косинус искомого угла одинаков?

Вывод: независимо от системы координат искомая величина будет одинаковой.

Слайд 9. А теперь эту задачу попробуем решить, используя определение угла между плоскостями.

(Один из учащихся рассказывает идею решения задачи у доски: строит сечение куба пл.(АМВ1), определяет искомый угол и определяет фигуру из которой можно найти искомую величину).

Часто искомым углом был угол между плоскостями в призме, но не всегда призма являлась кубом.

Слайд 10. «Удобной» призмой после куба является правильная четырёхугольная призма. Группа I решает задачу №1 координатно-векторным способом.

Менее «удобной» призмой является правильная треугольная призма. Это тело для задачи II и III групп, но II группа решает задачу №2 координатно-векторным способом, а III группа – по определению угла между плоскостями. Задачу надо не просто решить, а заполнить пропуски в рабочем листе №2. (приложение №2)

Группам выдаются рабочие листы №2.

По истечению отведённого времени, учащиеся работают на ИД, заполняя пропуски и объясняя решение.

1.Какие основные способы решения задач по теме «Решение задач по теме «Углы между плоскостями в призмах»»?

2.Основные разделы курса геометрии, используемые при решении задач этой темы?

Слайд №14. Дома на карточке задача С2 – решить двумя способами.

Конспект урока Уравнение прямой и плоскости

КГУ «Индустриально-технологический колледж»

Поурочный план № 147-148

Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Контрольная работа 12.

Наименование дисциплины: Математика
Подготовил педагог: Тихоненко С.А.
Дата урока: 22.04.2021 года

1. Общие сведения

1.1 Курс, группы: первый, 9СЛ20, 9МК20, 9ОП20

1.2 Тип занятия: комбинированный/ дистанционный

1.3 Межпредметные связи: физика, черчение.

Познакомить учащихся с понятием уравнения плоскости и её особыми случаями задания; Выработать практические навыки по изучаемой теме при решении задач.

познакомить учащихся с понятием уравнение плоскости и алгоритмами составления уравнения плоскости;

дать представление об особых случаях уравнения;

сформировать знания по изучаемой теме

выработать умение применять полученные знания при решении конкретных практических задач.

продолжить формирование навыков самостоятельной работы с информацией;

учить анализировать информацию, обобщать, делать выводы;

развивать умение работать в группах.

воспитывать уважительное отношение к мнению других, умение слушать и слышать окружающих;

способствовать формированию и развитию культуры учащихся, повышению уровня познавательного интереса к предмету;

продолжить работу по формированию положительной мотивации к учебной деятельности;

формировать позитивную психологическую атмосферу в группе.

2.2 Результаты обучения:

1) Усвоить определение вектора и действий с векторами в пространстве.

2.3 Критерии оценки:

1) Выполняет сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число;

2)Находит скалярное произведение векторов.

3. Оснащение занятия

3.1 Учебно-методическое оснащение: дидактические материалы, справочно-инструктивные таблицы, карточки с заданиями, оценочные листы .

Справочная литература : А.Е.Әбылқасымова, В.Е. Корчевский, З.Ә. Жумагулова, Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 классов естественно- математического направления обшеобразовательных школ.1-2 часть. Алматы: Мектеп, 2019г.

3.2 Техническое оснащение, материалы, ИКТ: мультимедийный проектор, ноутбук, экран.

рованные этапы урока, время

Деятельность, запланированная на уроке

Проверка домашнего задания.

Устный опрос по теме «Координаты вектора в пространстве».

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) — нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.

Презентация к уроку.

Пример 1. . Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

1. Написать конспект.

2. Ответить на вопросы теста.

5.Рефлексия по занятию

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

6. Домашнее задание

Ответить на вопросы теста.

Тест по теме «Векторы и координаты в пространстве»

1. Даны точки А(4; 5; 1) и В(0; 9; -8). Чему равна длина отрезка АВ?

a ) b) c) d) e)

2. Укажите пару коллинеарных векторов:

a ) и b ) и c ) и

d ) и e ) и

3. Могут ли векторы быть коллинеарными, но не равными?

a ) да b ) нет c ) не достаточно данных

4. Вектор ортогонален вектору . Укажите координаты вектора :

a ) b ) c )

d ) e )

5. Вычислить координаты середины отрезка АВ, если А(-10; 2; 3) и В(0; 16; -7).

a ) b ) c ) d ) e )

6. Чему равен модуль вектора , если M N

a) b) c) d) e)

7. При каком положительном n векторы и ортогональны?

a ) -2; 1 b ) 1 c ) 1; 2 d ) 2 e ) -2

8. Вычислить скалярное произведение векторов и :

a ) -14 b ) 4 c ) -4 d ) 10 e ) -10

9. Вычислить угол между векторами и :

a ) 45˚ b ) 60˚ c ) 30˚ d ) 90˚ e ) 120˚

10. Даны векторы и . Вычислить координаты вектора .

a ) b ) c ) d ) e )


источники:

http://infourok.ru/urok-geometrii-klass-ugli-mezhdu-ploskostyami-podgotovka-k-ege-582919.html

http://znanio.ru/media/konspekt-uroka-uravnenie-pryamoj-i-ploskosti-2708631