Уравнение плоскости перпендикулярной другой плоскости через точку

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.

В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям»? Сначала приведены необходимые теоретические сведения, а также рассуждения, помогающие составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям. После этого разобраны решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным плоскостям.

Начнем с постановки задачи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка и две пересекающиеся плоскости и . Требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскостям и .

Заметим, что плоскость , уравнение которой нам требуется составить, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются плоскости и . Действительно, из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Более того, существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку пространства перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям, так как существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Теперь приступим именно к решению поставленной задачи.

Из условия нам известны координаты точки , через которую проходит плоскость . Если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то сможем записать общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, в виде , где — нормальный вектор плоскости .

Итак, наша задача сводится к нахождению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь нормальный вектор плоскости есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости и , так как плоскость перпендикулярна к пересекающимся плоскостям и . В частности, если плоскости и заданы общими уравнениями плоскостей вида и соответственно, то направляющим вектором прямой, по которой пересекаются плоскости и , является векторное произведение векторов и (об этом написано в разделе координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости).

Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и , нужно

  • найти координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются заданные плоскости и ;
  • принять эти координаты за соответствующие координаты А , В и С нормального вектора плоскости, уравнение которой мы ищем;
  • написать уравнение плоскости вида — это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и .

Чтобы все стало понятно, предлагаем перейти к следующему пункту и ознакомиться с подробным решением примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям.

Начнем с задачи на нахождение уравнения плоскости, перпендикулярной к двум координатным плоскостям.

Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L

.(1)
.(2)

Пусть плоскость α1 не перпендинулярно прямой L.

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1 (Рис.1).

Запишем уравнение искомой плоскости α:

Ax+By+Cz+D=0.(3)

Искомая плоскость α проходит через прямую L, следовательно она проходит через точку M0(x0, y0, z0). Тогда справедливо следующее равенство:

Ax0+By0+Cz0+D=0.(4)

и поскольку прямая L принадлежит этой плоскости, то нормальный вектор n=<A, B, C> и направляющий вектор q=<m, p, l> ортогональны:

Для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна плоскости α1, нормальные векторы этих плоскостей должны быть ортогональными, т.е. скалярное произведение этих векторов должно быть равным нулю:

AA1+BB1+CC1=0(6)

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:

(7)

Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1.

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:

(8)

перпендикулярно плоскости α1 :

(9)

Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:

где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.

Поскольку плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−4, 1, 2), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

Ax0+By0+Cz0+D=0(10)

а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Am+Bp+Cl=0.(11)

Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:

AA1+BB1+CC1=0(12)
(13)
(14)
(15)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(16)

Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:

(17)

Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<9/43,−17/43,5/43>. Тогда подставляя в уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0(18)

значения A, B, C, D, получим:

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:

(19)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (19).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:

(20)

перпендикулярно плоскости α1 :

(21)

Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:

где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.

Так как плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−3, 1, 5), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

Ax0+By0+Cz0+D=0(22)

а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Am+Bp+Cl=0.(23)

Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:

AA1+BB1+CC1=0(24)
(25)
(26)
(27)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(28)

Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:

(29)

Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<3/2,−1/2,1>. Тогда подставляя в уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0(30)

значения A, B, C, D, получим:

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:

(31)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (31).

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой

Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой

Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат O x y z в нем. Заданы также точка М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , прямая a и плоскость α , проходящая через точку М 1 перпендикулярно прямой a . Необходимо записать уравнение плоскости α .

Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы 10 — 11 классов, которая гласит:

Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.

Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.

Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.

Условием задачи нам заданы координаты x 1 , y 1 , z 1 точки М 1 , через которую проходит плоскость α . Если мы определим координаты нормального вектора плоскости α , то получим возможность записать искомое уравнение.

Нормальным вектором плоскости α , так как он ненулевой и лежит на прямой a , перпендикулярной плоскости α , будет являться любой направляющий вектор прямой a . Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости α преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой a .

Определение координат направляющего вектора прямой a может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой a в исходных условиях. К примеру, если прямая a в условии задачи задана каноническими уравнениями вида

x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

или параметрическими уравнениями вида:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

то направляющий вектор прямой будет иметь координаты а x , а y и а z . В случае, когда прямая a представлена двумя точками М 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) и М 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) , то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:

— определяем координаты направляющего вектора прямой a : a → = ( а x , а y , а z ) ;

— определяем координаты нормального вектора плоскости α как координаты направляющего вектора прямой a :

n → = ( A , B , C ) , где A = a x , B = a y , C = a z ;

— записываем уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) в виде A ( x – x 1 ) + B ( y – y 1 ) + C ( z – z 1 ) = 0 . Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.

Полученное общее уравнение плоскости: A ( x – x 1 ) + B ( y – y 1 ) + C ( z – z 1 ) = 0 дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.

Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.

Задана точка М 1 ( 3 , — 4 , 5 ) , через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой О z .

Решение

направляющим вектором координатной прямой O z будет координатный вектор k ⇀ = ( 0 , 0 , 1 ) . Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты ( 0 , 0 , 1 ) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М 1 ( 3 , — 4 , 5 ) , нормальный вектор которой имеет координаты ( 0 , 0 , 1 ) :

A ( x — x 1 ) + B ( y — y 1 ) + C ( z — z 1 ) = 0 ⇔ ⇔ 0 · ( x — 3 ) + 0 · ( y — ( — 4 ) ) + 1 · ( z — 5 ) = 0 ⇔ z — 5 = 0

Ответ: z – 5 = 0 .

Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:

Плоскость, которая перпендикулярна прямой O z будет задана неполным общим уравнением плоскости вида С z + D = 0 , C ≠ 0 . Определим значения C и D : такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение С z + D = 0 , получим: С · 5 + D = 0 . Т.е. числа, C и D связаны соотношением — D C = 5 . Приняв С = 1 , получим D = — 5 .

Подставим эти значения в уравнение С z + D = 0 и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой O z и проходящей через точку М 1 ( 3 , — 4 , 5 ) .

Оно будет иметь вид: z – 5 = 0 .

Ответ: z – 5 = 0 .

Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x — 3 = y + 1 — 7 = z + 5 2

Решение

Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор n → заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: n → = ( — 3 , — 7 , 2 ) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку О ( 0 , 0 , 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( — 3 , — 7 , 2 ) :

— 3 · ( x — 0 ) — 7 · ( y — 0 ) + 2 · ( z — 0 ) = 0 ⇔ — 3 x — 7 y + 2 z = 0

Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.

Ответ: — 3 x — 7 y + 2 z = 0

Задана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, в ней – две точки А ( 2 , — 1 , — 2 ) и B ( 3 , — 2 , 4 ) . Плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой А В . Необходимо составить уравнение плоскости α в отрезках.

Решение

Плоскость α перпендикулярна к прямой А В , тогда вектор А В → будет нормальным вектором плоскости α . Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек В ( 3 , — 2 , 4 ) и А ( 2 , — 1 , — 2 ) :

A B → = ( 3 — 2 , — 2 — ( — 1 ) , 4 — ( — 2 ) ) ⇔ A B → = ( 1 , — 1 , 6 )

Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:

1 · x — 2 — 1 · y — ( — 1 + 6 · ( z — ( — 2 ) ) = 0 ⇔ x — y + 6 z + 9 = 0

Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:

x — y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x — y + 6 z = — 9 ⇔ x — 9 + y 9 + z — 3 2 = 1

Ответ: x — 9 + y 9 + z — 3 2 = 1

Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.

Задана прямоугольная система координат O x y z , в ней – точка М 1 ( 2 , 0 , — 5 ) . Заданы также уравнения двух плоскостей 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z – 1 = 0 , которые пересекаются по прямой a . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .

Решение

Определим координаты направляющего вектора прямой a . Он перпендикулярен как нормальному вектору n 1 → ( 3 , 2 , 0 ) плоскости n → ( 1 , 0 , 2 ) , так и нормальному вектору 3 x + 2 y + 1 = 0 плоскости x + 2 z — 1 = 0 .

Тогда направляющим вектором α → прямой a возьмем векторное произведение векторов n 1 → и n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → — 6 · j → — 2 · k → ⇒ a → = ( 4 , — 6 , — 2 )

Таким образом, вектор n → = ( 4 , — 6 , — 2 ) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a . Запишем искомое уравнение плоскости:

4 · ( x — 2 ) — 6 · ( y — 0 ) — 2 · ( z — ( — 5 ) ) = 0 ⇔ 4 x — 6 y — 2 z — 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x — 3 y — z — 9 = 0

Ответ: 2 x — 3 y — z — 9 = 0


источники:

http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti6-online.php

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-ploskosti-prohodjaschej-cherez-zadannuju/