Уравнение плоскости проходящей прямую и точку

Уравнение плоскости, которая проходит через заданную прямую и заданную точку.

В этой статье собрана информация, необходимая для решения задачи составления уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку. После решения этой задачи в общем виде мы приведем развернутые решения примеров на составление уравнения плоскости, которая проходит через заданную прямую и точку.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана прямая a и точка , не лежащая на прямой a . Поставим перед собой задачу: получить уравнение плоскости , проходящей через прямую a и точку М3 .

Сначала покажем, что существует единственная плоскость, уравнение которой нам требуется составить.

Напомним две аксиомы:

  • через три различные точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;
  • если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Из этих утверждений следует, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Таким образом, в поставленной нами задаче через прямую a и точку M3 проходит единственная плоскость , и нам требуется написать уравнение этой плоскости.

Теперь приступим к нахождению уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую a и точку .

Если прямая a задана через указание координат двух различных точек М1 и М2 , лежащих на ней, то наша задача сводится к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки М1 , М2 и М3 .

Если же прямая a задана иначе, то нам сначала придется найти координаты двух точек М1 и М2 , лежащих на прямой a , а уже после этого записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 , М2 и М3 , которое и будет искомым уравнением плоскости, проходящей через прямую a и точку М3 .

Разберемся, как найти координаты двух различных точек М1 и М2 , лежащих на заданной прямой a .

В прямоугольной системе координат в пространстве любой прямой линии соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет получить ее параметрические уравнения прямой в пространстве вида . Тогда, приняв , имеем точку , лежащую на прямой a . Придав параметру отличное от нуля действительное значение, из параметрических уравнений прямой a мы сможем вычислить координаты точки М2 , также лежащей на прямой a и отличной от точки М1 .

После этого нам останется лишь написать уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки и , в виде .

Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую a и заданную точку М3 , не лежащую на прямой a .

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую.

Покажем решения нескольких примеров, в которых разберем рассмотренный метод нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Начнем с самого простого случая.

Напишите общее уравнение плоскости, которая проходит через координатную прямую Ox и точку .

Возьмем на координатной прямой Ox две различные точки, например, и .

Теперь получим уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 , М2 и М3 :

Это уравнение является искомым общим уравнением плоскости, проходящей через заданную прямую Ox и точку .

.

Если известно, что плоскость проходит через заданную точку и заданную прямую, и требуется написать уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости, то следует сначала получить общее уравнение заданной плоскости, а от него переходить к уравнению плоскости требуемого вида.

Составьте нормальное уравнение плоскости, которая проходит через прямую и точку .

Сначала напишем общее уравнение заданной плоскости. Для этого найдем координаты двух различных точек, лежащих на прямой . Параметрические уравнения этой прямой имеют вид . Пусть точка М1 соответствует значению , а точка М2. Вычисляем координаты точек М1 и М2 :

Теперь мы можем составить общее уравнение прямой, проходящей через точку и прямую :

Осталось получить требуемый вид уравнения плоскости, умножив обе части полученного уравнения на нормирующий множитель .

.

Итак, нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и заданную прямую, упирается в нахождение координат двух различных точек, лежащих на заданной прямой. В этом часто состоит основная сложность при решении подобных задач. В заключении разберем решение примера на составление уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую, которую определяют уравнения двух пересекающихся плоскостей.

В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка и прямая a , которая является линией пересечения двух плоскостей и . Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую a и точку М3 .

Отталкиваясь от заданных уравнений двух пересекающихся плоскостей и , получим параметрические уравнения прямой a , чтобы найти координаты двух точек М1 и М2 , лежащих на прямой a . После этого напишем требуемое уравнение плоскости, проходящей через точку М3 и прямую a , как уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 , М2 и М3 .

Процесс перехода от уравнений двух плоскостей, пересекающихся по прямой a , к параметрическим уравнениям прямой a подробно описан в статье уравнения прямой – уравнения двух пересекающихся плоскостей. Не будем на этом подробно останавливаться, а запишем лишь итоговый результат . При получаем точку , при — точку .

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую , имеет вид

.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:

.(1)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M0 и и через прямую L(Рис.1).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:

A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0.(2)

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:

A(xx1)+B(yy1)+C(zz1)=0.(3)

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

A(x1x0)+B(y1y0)+C(z1z0)=0.(5)

Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M0 и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:

.(6)

Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.

(7)

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

A(x1x0)+B(y1y0)+C(z1z0)=0.(8)

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

(10)
(11)

Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(12)

Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:

(13)

Упростим уравнение (13):

(14)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:

(15)

Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:

(16)

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:

A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0.(17)

Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:

A(xx1)+B(yy1)+C(zz1)=0.(18)

Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:

A(x1x0)+B(y1y0)+C(z1z0)=0.(19)

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :

Am+Bp+Cl=0.(20)
(21)
(22)

Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(23)

Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:

(24)

Упростим уравнение (24):

(25)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.

(26)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).

Уравнение плоскости проходящей через точку и прямую

Плоскость, проходящая через данную точку М000;z0) и через данную прямую K (плоскость проходит через прямую):

и не проходящую через точку М0, представляется уравнением (1):


Эта запись в векторной форме (2):

(rr0)(r1r0)а = 0

Уравнение (1) или (2) выражает компланарность векторов а
и $\overrightarrow <M> $, $\overrightarrow <> $

Примечание
Если прямая K проходит через точку М0, то уравнение (1) становится тождеством и, следовательно, задача имеет бесчисленное множество решений.

Пример
Плоскость, проходящая через точку М0(5;2;3) и прямую


источники:

http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti4-online.php

http://www.matematicus.ru/vysshaya-matematika/analiticheskaya-geometriya-v-prostranstve/uravnenie-ploskosti-prohodyashhej-cherez-tochku-i-pryamuyu