Уравнение плоской монохроматическая волна для напряженности

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОЙ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ

Пусть в точке О, которую примем за начало координат, находится источник колебаний, колеблющийся по закону x = cos wt, где x — мгновенное значение колеблющейся величины, А — амплитуда, w — циклическая частота. Рассмотрим процесс распространения колебаний, например, вдоль координатной оси Оx. Обозначим скорость распространения волны, т.е. скорость передвижения фронта волны, через u. Очевидно, что колебания в точке с координатой х начинаются через промежуток времени t = х/u, который необходим, чтобы колебания достигли этой точки. Тогда уравнение колебаний в данной точке описываются уравнением x = cos w(t – t) = cos w(tх/u). Обычно это уравнение записывают в ином виде. Для этого преобразуем аргумент косинуса: w(tх/u) = = wtхw/u = wt – 2pх/(uT), так как w = 2p/T, где Т — период колебаний. Расстояние, на которое распространяется волна за период колебания, называется длиной волны. Обозначим её через l. Тогда uT = l. С учётом этого запишем:

(1)

Уравнение (1) называется уравнением плоской монохроматической волны. В этом уравнении A и w ¾ амплитуда и циклическая частота волны, равная амплитуде и циклической частоте колебаний, происходящих в разных точках волны; ¾ фаза волны.

Звук представляет собой колебания воздуха или другой упругой среды, воспринимаемые нашими органами слуха. Звуковые колебания, воспринимаемые человеческим ухом, имеют частоты, лежащие в пределах от 20 до 20000 Гц. Колебания с частотами меньше 20 Гц называются инфразвуковыми, а больше 20 кГц — ультразвуковыми.

1. Характеристики звука. Звук у нас ассоциируется с его слуховым восприятием, с ощущениями, которые возникают в сознании человека. В связи с этим выделяют три его основные характеристики: высота, тембр и громкость звука.

а) Высота и тембр звука. Физической величиной, характеризующей высоту звука, является частота колебаний звуковой волны. Чем меньше частота, тем ниже звук, а чем больше частота, тем выше звук. Звук, издаваемый при полёте

жука, имеет частоту несколько десятков герц, тогда как писк комара — частоту, приближающуюся к 20000 Гц. Когда мы слышим музыкальный звук, то кроме высоты и громкости, мы воспринимаем его тембр. Звучание одной и той же ноты (следовательно, звучание одинаковой частоты) на скрипке и трубе чётко различаются на слух. Тембр звука связан с физически измеримыми величинами. Он определяется наличием обертонов (удвоенных, утроенных и т.д. частот основной частоты), их числом и амплитудами. У различных музыкальных инструментов число обертонов и их амплитуды оказываются различными. Именно это придаёт звуку каждого инструмента определённый тембр. Тембровая окраска звука определяется распределением интенсивностей обертонов, как, например, изображено на рис. 2. Другой тип звука — шум, который имеет место, например, при ударе двух камней друг о друга, ударе по всем клавишам рояля и т.д. Шум характеризуется большим числом частот, которые слабо связаны или не связаны друг с другом. Спектр шума представляет собой непрерывный набор частот и отдельные линии не выделяются.

0 n
0 n
б)
I
а)
I

Рис. 2

б) Громкость звука. Громкость звука связана с физически измеряемой величиной — интенсивностью волны. Интенсивность равна энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению её распространения. Интенсивность звуковых волн очень низка. Она изменяется от 10 –12 (порог слышимости) до 10 Вт/м 2 (болевые ощущения). Так, энергия рёва большой толпы футбольных болельщиков, приветствующих гол, приблизительно равна внутренней энергии чашки кофе при температуре

Человеческое ухо воспринимает невероятно широкий диапазон интенсивностей, крайние его значения различаются в 10 13 раз. Установлено, что величина, которую мы воспринимаем как громкость, не прямо пропорциональна интенсивности. Уровень громкости L вычисляется через интенсивность данного звука I по формуле

(2)

где за I0 принимается величина порога слышимости, причём используется десятичный логарифм. Уровень громкости измеряется в белах (Б). Однако удобнее оказалось использовать величину в 10 раз меньшую — децибел. Значение в этом случае записывается

(3)

Для примера приведём сравнительную таблицу уровней громкости (табл. 1).

1. Электромагнитные волны являются одним из наиболее важных типов волн, которые широко используются на практике. В отличие от механических волн для их распространения не нужно упругой среды. Они могут распространяться и в вакууме. Два фундаментальных закона природы лежат в основе существования электромагнитных волн: закон электромагнитной индукции Фарадея, согласно которому изменяющееся магнитное поле создаёт электрическое поле, и закон Максвелла, по которому переменное электрическое поле ответственно за возникновение магнитного поля. Возникшее в какой-либо точке пространства изменяющееся, например, магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, которое, в свою очередь, вызывает появление переменного магнитного поля и т.д. Возникает электромагнитное поле, которое распространяется в пространстве. При этом в каждой точке пространства векторы напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля взаимно перпендикулярны и расположены в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны.

2. Виды электромагнитных волн. Существованием электромагнитных волн объясняются многие явления, наблюдаемые в природе, которые часто не похожи друг на друга в своих проявлениях. Оказалось, что видимый свет, радиоволны, рентгеновские лучи, g-лучи имеют одну и ту же природу ¾ это электромагнитные волны, различающиеся только длиной волны. Электромагнитные волны в принципе могут иметь любую длину волны lu в вакууме (или частоту n, которая связана с lu соотношением n = с / lu , где с = 3×10 8 м/с ¾ скорость света в вакууме) от нуля до бесконечности. Весь диапазон длин волн можно приближённо разделить на ряд областей, каждая из которых связана с определённым видом излучения. Различные виды электромагнитных волн приведены в табл. 2, где приведены также приближённые значения частот и длин волн их

Частота, ГцДиапазон волнДлина волн, м
10 3 —10 12Радиоволны3·10 5 — 3·10 –4
10 12 — 10 14Инфракрасное излучение3·10 –4 — 8·10 –7
4·10 14 — 7,5·10 14Видимый свет7,5·10 –7 — 4·10 –7
7,5·10 14 — 10 17Ультрафиолетовое излучение4·10 –7 — 10 –9
10 17 — 10 20Рентгеновское излучение10 –9 — 10 –12
10 20 — 10 23g-излучение10 –12 — 10 –15

границ, поскольку соседние диапазоны перекрывают друг друга. Классификация различных видов электромагнитных волн, приведённая в таблице, основывается не только на их проявлениях, но и на способе их генерации. Электромагнитные волны с низкими частотами (n 3 Гц) генерируются переменными электрическими токами соответствующей частоты и не имеют практического значения. Радиоволны, используемые для радио и телепередач, генерируются при колебательных движениях зарядов в колебательном контуре, присоединённом к антенне. Инфракрасные (ИК) волны, диапазон которых примыкает к радиоволнам, возникают вследствие колебаний ионов кристаллических решёток, к которым подводится тепловая энергия (излучение ИК волн нагретой металлической спиралью в бытовом нагревательном рефлекторе). Очень узкий диапазон занимает видимый свет (от 400 до 750 нм).

Электромагнитные колебания, невидимые человеческим глазом, с более высокими частотами создают ультрафиолетовое излучение. Видимый свет и ультрафиолетовое излучение генерируются возбуждёнными валентными электронами атомов за счёт энергии, подводимой извне (свечение газонаполненной трубки под действием электрического тока). Рентгеновское излучение возникает при резком торможении потока электронов препятствиями. Пульсации ядерного заряда приводят к созданию g-излучения.

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

С точки зрения волновой теории свет представляет собой электромагнитные волны с частотой n, лежащей в интервале от 0,4×10 15 до 0,75×10 15 Гц. Диапазон световых волн чаще выражают в длинах волн в вакууме (практически в воздухе). Используя соотношение длины lu световой волны с частотой колебания (lu = c/n, где c = 3×10 8 м/с — скорость света в вакууме), находим, что длины волн света в вакууме заключены в пределах от 0,75 до 0,4 мкм. Установлено, что цветовое воздействие света на глаз человека обусловлено его частотой. Так, световые волны с частотой 0,4·10 15 Гц воспринимаются как красный свет, а с частотой 0,75·10 15 Гц — как фиолетовый. Показано также, что световые волны, отличающиеся по длине волны менее чем на 2 нм, воспринимаются как одноцветные.

Интерференцией волн называют явление усиления и ослабления волн в определённых точках пространства при их наложении. Интерферировать могут только когерентные волны. Когерентными называются волны (источники), частоты которых одинаковы и разность фаз колебаний не зависит от времени. Геометрическое место точек, в которых происходит усиление или ослабление волн соответственно называют интерференционным максимумом или интерференционным минимумом, а их совокупность носит название интерференционной картины. В связи с этим можно дать иную формулировку явления. Интерференцией волн называется явление наложения когерентных волн с образованием интерференционной картины.

Рассмотрим процесс наложения двух когерентных волн любой природы (механические, электромагнитные). Пусть эти волны создаются когерентными источниками O1 и O2, находящимися в одной среде, амплитуды и циклические частоты которых одинаковы и равны А и w, а начальные фазы равны нулю. Расстояние между источниками О1 и О2 намного меньше расстояний х1 и х2от источников до точки наблюдения М. Тогда волны от источников О1 и О2 распространяются практически параллельно, и вызываемые ими колебания в точке M (рис. 3) находим, используя уравнение плоской монохроматической волны (см. (1)):

(4)

где x1 и x2 — мгновенные значения колеблющейся величины; l — длина волны в данной среде; x1 и x2 — расстояние от источников до точки наложения волн. Результирующее колебание s равно алгебраической сумме колебаний, обусловленных отдельными волнами, поскольку колебания происходят в одном направлении, т.е. Используя соотношение и полагая и , получаем: Выражение

(5)

M
х2
х1
О2
О1

Рис. 3

не зависит от времени. Поэтому его можно рассматривать как амплитуду результирующих колебаний, происходящих в точке М. В формуле (5) взята абсолютная величина, так как амплитуда по определению всегда положительная. С учётом этого уравнение колебаний в этой точке запишется в виде Таким образом, в произвольной точке М происходят гармонические колебания с той же циклической частотой w, амплитуда которых зависит от геометрической разности (х2х1) хода волн. Найдём условия усиления и ослабления колебаний в различных точках пространства. Очевидно, что амплитуда В результирующих колебаний будет максимальной в тех точках, для которых Это возможно, если , где m = 0, ±1, ±2, ¼. Отсюда

где m называют порядком интерференционного максимума. Из этого выражения следует, что когерентные волны, распространяющиеся в одной среде, усиливаются в точках, для которых геометрическая разность хода равна целому числу длин волн. Следовательно, соотношение (6) является условием интерференционного максимума.

Интенсивность результирующей волны будет наименьшей во всех точках,

для которых т.е. когда Отсюда

т.е. когерентные волны, распространяющиеся в одной среде, ослабляются в точках, для которых геометрическая разность хода равна полуцелому числу длин волн. Поэтому соотношение (7) является условием интерференционного минимума.

Изложенная теория интерференции справедлива для волн любой природы, в том числе для световых волн. Однако интерференционная картина световых волн может наблюдаться только в специальных условиях. Действительно, при наложении света одинакового цвета, испускаемого двумя независимыми источниками, например лампами накаливания, интерференция не происходит, поскольку эти источники некогерентные. В этом случае наблюдается суммирование интенсивностей световых волн. Для того чтобы наблюдать интерференцию света, надо излучение от одного и того же источника разделить на два пучка и заставить их затем попасть на экран различными путями. Это достигается за счёт отражения и преломления света. Рассмотрим один из методов наблюдения интерференции световых волн — бипризму Френеля. Бипризма (БП) состоит из двух стеклянных призм с малыми преломляющими углами, сложенных своими основаниями. Источником света служит ярко освещённая щель О, установленная параллельно ребру бипризмы (рис. 4). После преломления в бипризме пучок света разделяется на два пучка когерентных волн. В области АБ экрана Э волны налагаются, и возникает интерференционная картина в виде светлых и тёмных параллельных интерференционных полос.

О
О1
О2

Б
А

Рис. 4

Э

С интерференцией волн тесно связано другое важное явление — дифракция. Дифракцией называется явление огибания волнами препятствий. Дифракция зависит от соотношения размеров препятствия и длины волны. Она проявляется заметным образом, если размеры препятствий и длины волны соизмеримы. Поэтому дифракция звуковых волн наблюдается легко, а в случае света, длина волны которого много меньше размеров препятствий, наблюдается в специальных условиях. Так, можно через приоткрытую дверь слышать собеседников в соседней комнате, даже если вы их не видите. На языке оптики дифракция означает проникновение света в область геометрической тени.

|следующая лекция ==>
По факторний аналіз інфляції|Коротка характеристика та класифікація підприємств

Дата добавления: 2015-09-28 ; просмотров: 7029 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Монохроматическая плоская волна

Монохроматическая плоская волна

  • Монохроматическая плоская волна. Важный частный случай электромагнитных волн представ .. Ляют волны, в которых поле является простой периодической функцией времени Такая волна называется монохроматической

Все величины (потенциалы, компоненты полей) в монохроматической волне зависят от времени посредством множителя вида соз (сot + се), где оо — циклическая частота (или просто частота ) волны. В волновом уравнении вторая производная от поля по време теперь будет д2 f / dt2 = -uo2f А / + Ј / = О- (48,1) В плоской волне Поэтому если плоская .

Векторный потенциал такой волны удобнее всего написать в виде вещественной части Людмила Фирмаль

Волна монохроматична, то ее поле является простой периодической функцией от т — х / с комплексного выражения: А = Re <А0е — «(*« х / с)>. (48.2) Здесь Ао-некоторый постоянный комплексный вектор. видно, что и напряженность (48.3) поляризованные координаты

Вектор к = -п (48,4) С (где п-единичный вектор в появлении распространения волны) называется волновым вектором. A = Re , (48,5) не может быть выбрано осей координат. До тех пор, пока мы не получим отдельные операции, можно опускать знак подставив А = Аое ^ кг- ^ в (47.3), получатель связи между напряженностями и векторным потенциалом плоской монохроматической Е = икА, Н = г [кА]. (48,6)

Если аргумент этого числа есть —2а (т. е. уравнение = | Ед | е_2га), то вектор Ь, определенный согласно Е 0 = он, (48,7) будет иметь вещественный квадрат Ь2 = | Ео | 2-С таким опреде лением напишем Е = Re <Ье ^ (кг «ш *« а)>. (48,8) Представим б в виде b = bi + гЬ2, В квадрате Ь2 = = b \ — + 2гЪ \ Ъ2 должен быть вещественной величиной, то b ib 2 = 0, т. е. используются би и взаимно перпендикулярны. тогда из (48,8м) Еу = Ъ \ cos (вырезать-кр + се), Ez = = Ь & 2 sin (сот-кр + а), (48,9)

мы видим ства вектор электрического поля вращается в плоскости Людмила Фирмаль

где знак плюс или минус направленный в положительный или отрицательный вектор прямой осью z. Из (48.9) следует, что Т? 2 Z712 f + f = 1. (48,10) b 1, b2 Таким образом, , перпендикулярной к направлению распространения волны, причем его конец описывает эллипс (48,10).

Такая волна называется эллиптически поляризованной. Вращение происходит в направлении по или против направления винта, ввинчиваемого вдоль оси ж, соответственно при знаке плюс или минус в (48,9). Если то эллипс (48.10) превращается в круг, т. вектор полярных волн очевидно, что это становится очевидным. Отметим, что в таком волне отношение у- и ^ -составляющих комплексной амплитуды Ео равно ^ = ± г (48.11)

Еру соответственно, правая и левая поляризация). Наконец-то, если Ь \ или 62 равно нулю Лено везде и всегда рядом (или антипараллельно) одному В этом случае линейно поляризованной или поляризованний поляризованную волну можно рассматривать, очевидно, как наложение двух линейно поляризованных вол Вернемся к определению рехмерный волновой вектор # = (^, к). (48.12) 4-вектор, очевидно, что при умножении на 4 волны он дает скаляр-фазу волны: kiXг = сот-кр. (48.13)

Из определений (48.4) и (48.12) видно, что квадрат волнового к% = 0. (48.14) Это выражение должно А = Ао exp (—ik (Xг) должно быть решение волнового уравнения (46.10). Как у всякой плоской волны, в монохроматической волне, распространенные по всей стране, только следующие компоненты тензора энергии-импум. rj-100 _ rj

l01 _ rj-ill _ уу С помощью волнового в тензорном виде как Тик = ^ -к? К к. (48.15)

Наконец, используя закон преобразования волнового 4-векто можно легко рассмотреть так называемый эффект Доплера-изменение частоты волны, испускаемостьии по отношению к наблюдателю, по сравнению с «собственной» частной речью Пусть V-скорость источника, т. Е. Скорость системы отсче та К 0 относительно К.

Согласно общей форме ислама Я 4-векторов имеем ^ (0) 0 = к0- (У / Ф1 у / 1-V 2 / с2 (скорость системы К относительно Ко есть-V). к0 = со / с, к1 = кос а = -кос се, где се —угол (в системе К) между направлением испускания волн и волнений источник, получающий ш = шоЛ Е Ш ^, (48,16) 1- (V / c) cos а У нее есть искомая формула. не слишком близок к 7г / 2: 00 L0o (l + -cosce ^. (48.17) При а = 7г / 2 имеем ш = ш0 ^ 1-и UQ (л-; (48,18) в этом случае относительное изменение частоты пропорционально квадрату отношения V / c.

Задачи 1. Определить направление и значение осей эллипса поляризации по комплексной амплитуде Ео- B = bi + с вещественным квадратом. Из (48.7) имеем EoES = bj + bl, [EoEq] = —2г [bib2], (1) ИЛИ b \ + b \ = A2 + B2, bi b2 = AB sin

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

ПЛОСКАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА, ЕЕ ПАРАМЕТРЫ И СВОЙСТВА

СВЕТ КАК ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА

Физическая природа света.

В рамках волновой теории свет представляет собой электромагнитные волны. Под светом в настоящее время понимают электромагнитное излучение оптического диапазона, включающего видимое, инфракрасное (ИК) и ультрафиолетовое (УФ) излучение.

Границы оптического диапазона, а также границы между его участками установлены на основе экспериментальных данных и не являются абсолютно точными. Диапазон видимых длин волн: 380 нм = =760 нм, частота колебаний порядка Гц, период колебаний с (фемтосекунды).

Электромагнитная волна – колебания напряженности электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью.

Математическое описание оптических явлений строится на основе базовых уравнений электромагнетизма – уравнениях Максвелла.

Из уравнений Максвелла следует

1) факт существования электромагнитных волн,

2) распространение электромагнитных волн в вакууме со скоростью

, (1)

3) распространение электромагнитных волн в однородной изотропной среде со скоростью

(2)

4) Частные решения в виде плоской и сферической волн

ПЛОСКАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА, ЕЕ ПАРАМЕТРЫ И СВОЙСТВА

Плоская монохроматическая волна– частное решение Уравнений Максвелла. Напряженность электрического поля такой волны описывается выражением:

(3)

– волна распространяется вдоль оси z,

(4)

– волна распространяется в направлении, задаваемом вектором . Здесь волновой вектор, длина которого равна волновому числу, а направление совпадает с направлением распространения волны (т.е. с нормалью к волновому фронту).

В комплексном виде

. (5)

Параметры плоской монохроматической волны. (см. рис 1).

– амплитуда волны, в общем случае, комплексная.

— фаза волны,

– начальная фаза волны,

– циклическая частота волны,

, где — частота волны (Гц),

, где – период волны,

– волновой вектор, направлен в направлении распространения волны (в частном случае – вдоль оси z), перпендикулярно к волновой поверхности (поверхности равных фаз).

— волновое число, ,

— длина волны или ее пространственный период, υ – фазовая скорость волны (скорость распространения волнового фронта волны)

,

где n — показатель преломления среды,
— длина волны в вакууме,
величина Δ, равная произведению показателя преломления на геометрическую длину пути Δ = nz , называется оптической длиной пути.

Свойства плоской монохроматической волны

1. Волна монохроматическая – колебания напряженностей электрического и магнитного полей происходят на одной частоте, т.е гармонические (по закону sin, cos).

2. Волна плоская –волновая поверхность (поверхность равных фаз, или поверхность постоянной фазы) – плоскость(см. рис 2), т.е. удовлетворяет уравнению плоскости: z=const (в общем случае ). Волновой фронт – это волновая поверхность на границе между возмущенной и невозмущенной частью пространства.

3. Поперечность электромагнитной волны – колебания векторов и перпендикулярны направлению распространения волны (см. рис. 2, 3, 4);

Рис. 2. Волновой фронт (плоскость) и структура плоской монохроматической волны (правая тройка векторов)

Рис.3. Волновой фронт (сфера) и структура сферической монохроматической волны (правая тройка векторов)

4. Правая тройка векторов – векторы , образуют правую ортогоналъную тройку векторов(cм. рис. 2, 3.);

5. Связь между векторами и – синфазность колебаний этих векторов(см. рис. 4);

Рис. 4. Синфазность колебаний напряженностей электрического и магнитного полей

6. Связь между амплитудами векторов и :

;(6)

7. Поляризация электромагнитной волны. Поляризация – свойство света, обусловленное поперечностью электромагнитных волн. Поляризация характеризует структуру колебаний вектора напряженности электрического поля в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (cм. рис. 5). Конец вектора в этой плоскости может описывать различные фигуры (линию, эллипс, круг). Если с течением времени эти фигуры не изменяются, свет полностью поляризован (линейно, эллиптически, циркулярно). Если состояния поляризации (фигуры) с течением времени изменяются случайным образом, свет не поляризован;

Рис. 5. Состояния поляризации плоской монохроматической волны

8. Интенсивность плоской монохроматической волны пропорциональна квадрату ее амплитуды;

9. Связь между волной и лучом.Световые лучи – это нормали к волновой поверхности (поверхности постоянной фазы волны) (cм. рис 6).

Рис. 6. Волновые поверхности в различные моменты времени и световые лучи:
в случае плоской (cлева) и сферической (справа) волн