Уравнение предельного равновесия для связных

Уравнение предельного равновесия для сыпучих и связных грунтов

Угол наибольшего отклонения. При действии на поверхность грунта местной нагрузки в любой точке грунта М (рис. 4.4, а) для любой площадки mn, проведенной через эту точку пол углом α, возникнут нормальные и касательные напряжения. К нормальным напряжениям при математическом рассмотрении вопроса следует отнести и силы связности; суммарно оцениваемые давлением связности ре. Тогда на площадку mn (рис. 4.4, а) будут действовать нормальное напряжение σα + ре и касательное τα.

Рис. 4.4. Круги предельных напряжений: а – схема напряжений в данной точке; кривые сдвига для сыпучих (б) и связных (в) грунтов

При изменении угла α величины составляющих напряжений также будут меняться, и если касательные (сдвигающие) напряжения достигнут определенной доли от нормальных, то, как показывают опыты на сдвиг, произойдет скольжение одной части грунта по другой.

Таким образом, условием предельного равновесия грунта в данной точке будет

Если f — величина постоянная, то в предельном состоянии она представляет собой тангенс угла наклона прямолинейной огибающей кругов предельных напряжений (рис. 4.4, б,в).

С другой стороны, согласно рис. 4.4, а

Это отношение равно тангенсу угла отклонения Θ, т. е. угла, на который отклоняется полное напряжение для площадки σ от нормали к этой площадке.

Так как через заданную точку можно провести множество площадок, то, очевидно, необходимо отыскать самую невыгодную площадку, для которой будет существовать максимальный угол отклонения Θmax. Тогда

Условия предельного равновесия. Для сыпучих грунтов согласно диаграмме сдвига (рис. 4.4, б) максимальное значение угла отклонения Θmax будет тогда, когда огибающая ОЕ коснется круга предельных напряжений.

Из геометрических соотношений вытекает, что поставленному условию удовлетворяет равенство:

где σ1 и σ2 —главные напряжения; φ — угол внутреннего трения грунта.

Это и есть условие предельного равновесия для сыпучих грунтов. Ему можно придать несколько другой вид после несложных тригонометрических преобразований, а именно

Последнее выражение весьма широко используется в теории давления грунтов на ограждения, причем знак минус (в скобках) соответствует так называемому активному давлению, а знак плюс – пассивному сопротивлению сыпучих грунтов.

Условию предельного равновесия для сыпучих грунтов иногда придают иной вид, выразив главные напряжения σ1 и σ2 через составляющие напряжения σz, σy и τzy (для плоской задачи). Тогда будем иметь выражение:

Для связных грунтов, подобно предыдущему, пользуясь кривой предельных напряжений (рис. 4.4,в), получим условие предельного равновесия в виде

(2.25)

где с—сцепление грунта, определяемое как начальный параметр огибающей кругов предельных напряжений, то уравнение (2.25) может быть представлено в виде

Последняя формула широко используется в задачах теории предельного равновесия.

Условие предельного равновесия в составляющих напряжениях σz, σy и τzy для связных грунтов имеет следующий вид:

Отметим, что круг предельных напряжений дает возможность определить направления площадок скольжения для любой заданной точки.

Если соединить точку касания предельной прямой ОЕ (рис. 4.4, в) с концом отрезка, изображающего в масштабе σ2 (точка А), то направление ЕА определит направление площадки скольжения. По рис. 4.4, в

Таким образом, в условиях предельного равновесия площадки скольжения будут наклонены под углом ±( 45°+ φ/2)к направлению площадки наибольшего главного напряжения, или, что то же самое, под углом ±(45°—φ/2) к направлению главного напряжения σ1.

Дата добавления: 2015-01-29 ; просмотров: 276 ; Нарушение авторских прав

Уравнения предельного равновесия для сыпучих и связных грунтов

Угол наибольшего отклонения. При действии на поверхность грунта местной нагрузки в любой точке грунта М для любой пло­щадки тп, проведенной через эту точку под углом а (рис. 64, а), возникнут нормальные и касательные напряжения. К нормальным напряжениям при математическом рассмотрении вопроса следует отнести и силы связности, суммарно оцениваемые [см. формулу (11.23′)] давлением связности рг. Тогда на площадку тп (рис. 64, а) будут действовать нормальное напряжение оа+ре и каса­тельное Та .

При изменении угла а величина составляющих напряжений так­же будет меняться и, если касательные (сдвигающие) напряжения достигнут определенной доли от нормальных, то, как показывают опыты на сдвиг, произойдет скольжение одной части грунта по дру­гой.

Таким образом, условием предельного равновесия грунта в дан­ной точке будет

Это отношение равно тангенсу угла отклонения 9, т. е. угла, на ко­торый отклоняется полное напряжение для площадки о от нормали к этой площадке.

Читайте также:
  1. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.
  2. Анализ инженерно-геологических условий, анализ инженерных свойств грунтов.
  3. Бегущие волны описываются [1] волновым уравнением
  4. Безусловное торможение. Сущность внешнего и запредельного торможения. Условное торможение, его виды.
  5. Билет. Условия равновесия совершенно-конкурентной фирмы в долгосрочном периоде.
  6. Бюджетные ограничения. Изменение покупательной способности потребителя. Условие потребительского равновесия
  7. В приближении идеального газа уравнение Клапейрона -Клаузиуса примет вид
  8. Введение Задача курса механики грунтов.
  9. Величины ∆G , ∆F, ∆μ (и все их вариации), характеризующие меру отклонения системы от равновесия, называются движущей силой кристаллизации.
  10. Взаимосвязь между различными константами равновесия.

Рис. 64. Круги предельных напряжений:

а — схема напряжений в данной точке; б— диаграмма сдвига для сыпучих грунтов; в — то же, для грунтов связных

Так как через заданную точку можно провести множество пло­щадок, то, очевидно, необходимо отыскать самую невыгодную пло­щадку, для которой будет существовать максимальный угол откло­нения бтах- Тогда

Условия предельного равновесия. Для сыпучих грунтов согласно диаграмме сдвига (см. рис. 64, б) максимальное значение угла от­клонения бтах будет тогда, когда огибающая ОЕ коснется круга предельных напряжений.

Как было показано ранее (см. гл. II, § 4) и что вытекает из гео­метрических соотношений, поставленному условию удовлетворяет

120 равенство (11.24):

где 01 и 02 — главные напряжения;

Ф — угол внутреннего трения грунта.

Это и есть условие предельного равновесия для сыпучих грун­тов. Ему можно придать несколько другой вид после несложных тригонометрических преобразований, а именно

1 — 51П ф 1 + 51Пф

Последнее выражение весьма широко используется в теории давления грунтов на ограждения, причем знак «минус» (в скобках) соответствует так называемому активному давлению, а знак «плюс» — пассивному сопротивлению сыпучих грунтов.

Условию предельного равновесия для сыпучих грунтов иногда придают иной вид, выразив главные напряжения 01 и 02 через со­ставляющие напряжения о2, ау и хуг (для плоской задачи). Тогда будем иметь следующее выражение, тождественное зависимости (11.24):

(0у + ог) У> 1уг составляющие напряжении;

у — объемный вес грунта.

В этих двух дифференциальных уравнениях три неизвестных (ог, оу и хуг); таким образом, задача является (без добавочных усло­вий) статически неопределимой. Если же добавить к этим двум уравнениям третье, например, (П.251У), то получим замкнутую систему трех уравнений с тремя неизвестными, но для предельного на­пряженного состояния, так как уравнение (П.251У) является усло­вием предельного равновесия:

Таким образом, задача в общей постановке статически опреде­лима.

Решение дифференциаль­ных уравнений равновесия (а1) и (аг) совместно с усло­вием предельного равнове­сия (аз) в дальнейшем полу­чено (проф. В. В. Соколов­ским, 1942 г.) как системы уравнений гиперболического типа.

Пространственная задача имеет замкнутую систему уравнений (статиче­ски определимую) только для случая осевой симмет­рии.

Для осесимметричной за­дачи, воспользовавшись ци­линдрической системой ко­ординат (г, т>) и приняв обо­значения составляющих на­пряжений по рис. 65, имеем следующую систему уравне­ний равновесия:

Рис. 65. Схема пространственной

напряжении в случае осесимметричной за­дачи

Условия предельного равновесия (условия прочности) сыпучих и связных грунтов

1. Для сыпучих грунтов (различного рода пески, крупнообломочные грунты, галечники). Зависимость σ – τ принимается прямой, проходящей через начало координат и наклонной к оси нормальных напряжений σ под углом внутреннего трения φ

Указанная зависимость – условие прочности грунта (закон Кулона) для сыпучих тел: сопротивление сыпучих грунтов сдвигу есть сопротивление трения, прямо пропорциональное нормальному давлению.

2. Для связных грунтов (пылевато-глинистые грунты) прямая σ – τ не проходит через начало координат, а отсекает отрезок c на оси τ, так как в связных грунтах, обладающих сцеплением между частицами, при отсутствии нормального давления (σ = 0) сопротивление грунта сдвигу больше нуля, что обусловливается силами сцепления

Общее сопротивление сдвигу связного грунта можно выразить уравнением:

Таким образом, сопротивление связного грунта сдвигу складывается из сопротивления трения, пропорционального нормальному давлению, плюс сцепление, не зависящее от давления.

Структурно-фазовая деформируемость грунтов. Принцип линейной деформируемости.

При не очень больших изменениях внешних давлений (порядка 100…300Па для обычных и до 500..700Па для плотных грунтов) с достаточной для практических целей точностью зависимость между деформациями ε и напряжениями σ может приниматься линейной. В этом случае для определения напряжений в грунтах применимы решения теории упругости.

Профессор Н.М.Герсеванов в 1931г. сформулировал принцип линейной деформируемости:

При небольших изменениях давлений грунты можно рассматривать как линейно деформируемые тела, т.е. с достаточной для практических целей точностью можно принимать зависимость между общими деформациями и напряжениями для грунтов линейной.

Распределение напряжений в грунтовой толще от действия сосредоточенной силы. Способ элементарного суммирования.

Определение напряжений в грунтовой толще от действия внешних нагрузок необходимо для установления условий прочности и устойчивости грунтов, определения деформаций и осадок оснований фундаментов.

В большинстве практических случаев при решении вопроса о распределении напряжений в грунтах в механике грунтов применяют теорию линейно деформируемых тел. Для определения напряжений по этой теории будут полностью справедливы уравнения теории упругости, также базирующиеся на линейной зависимости между напряжениями и деформациями (закон Гука).


источники:

http://helpiks.org/8-22050.html

http://megaobuchalka.ru/6/43059.html

УУ* \ 4\ ___■—7
Втая = Я> // / V-
\
\ Л \
и /б
А быс