Уравнение прямой в плоскости r2

Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости

В прошлом материале мы рассмотрели основные моменты, касающиеся темы прямой на плоскости. Теперь же перейдем к изучению уравнения прямой: рассмотрим, какое уравнение может называться уравнением прямой, а также то, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости.

Определение уравнения прямой на плоскости

Допустим, что есть прямая линия, которая задана в прямоугольной декартовой системе координат O х у .

Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек. Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат. Уравнение, которое описывает зависимость координат каждой точки прямой в декартовой системе O x y , называется уравнением прямой на плоскости.

Фактически, уравнение прямой на плоскости – это уравнение с двумя переменными, которые обозначаются как x и y . Уравнение обращается в тождество при подстановке в него значений любой из точек прямой линии.

Давайте посмотрим, какой вид будет иметь уравнение прямой на плоскости. Этому будет посвящен весь следующий раздел нашей статьи. Отметим, что существует несколько вариантов записи уравнения прямой. Объясняется это наличием нескольких способов задания прямой линии на плоскости, и также различной спецификой задач.

Общее уравнение прямой линии

Познакомимся с теоремой, которая задает вид уравнения прямой линии на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Уравнение вида A x + B y + C = 0 , где x и y – переменные, а А , В и C – это некоторые действительные числа, из которых A и B не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат O x y . В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида A x + B y + C = 0 .

Таким образом, общее уравнение прямой на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 .

Поясним некоторые важные аспекты темы.

Посмотрите на рисунок.

Линия на чертеже определяется уравнением вида 2 x + 3 y — 2 = 0 , так как координаты любой точки, составляющей эту прямую, удовлетворяют приведенному уравнению. В то же время, определенное количество точек плоскости, определяемых уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , дают нам прямую линию, которую мы видим на рисунке.

Общее уравнение прямой может быть полным и неполным. В полном уравнении все числа А , В и C отличны от нуля. Во всех остальных случаях уравнение считается неполным. Уравнение вида A x + B y = 0 определяет прямую линию, которая проходит через начало координат. Если A равно нулю, то уравнение A x + B y + C = 0 задает прямую, расположенную параллельно оси абсцисс O x . Если B равно нулю, то линия параллельна оси ординат O y .

Вывод: при некотором наборе значений чисел А , В и C с помощью общего уравнения прямой можно записать любую прямую линию на плоскости в прямоугольной системе координат O х у .

Прямая, заданная уравнением вида A x + B y + C = 0 , имеет нормальный вектор прямой с координатами A , B .

Все приведенные уравнения прямых, которые мы рассмотрим ниже, могут быть получены из общего уравнения прямой. Также возможен и обратный процесс, когда любое из рассматриваемых уравнений может быть приведено к общему уравнению прямой.

Разобраться во всех нюансах темы можно в статье «Общее уравнение прямой». В материале мы приводим доказательство теоремы с графическими иллюстрациями и подробным разбором примеров. Особое внимание в статье уделяется переходам от общего уравнения прямой к уравнениям других видов и обратно.

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, которые не равны нулю. Абсолютные величины чисел a и b равны длине отрезков, которые отсекаются прямой линией на осях координат. Длина отрезков отсчитывается от начала координат.

Благодаря уравнению можно легко построить прямую линию на чертеже. Для этого необходимо отметить в прямоугольной системе координат точки a , 0 и 0 , b , а затем соединить их прямой линией.

Построим прямую, которая задана формулой x 3 + y — 5 2 = 1 . Отмечаем на графике две точки 3 , 0 , 0 , — 5 2 , соединяем их между собой.

Дополнительно рекомендуем ознакомиться с материалом, изложенным в статье «Уравнение прямой в отрезках».

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эти уравнения, имеющие вид y = k · x + b должны быть нам хорошо известны из курса алгебры. Здесь x и y – это переменные, k и b – это некоторые действительные числа, из которых k представляет собой угловой коэффициент. В этих уравнениях переменная у является функцией аргумента x .

Дадим определение углового коэффициента через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси O x .

Для обозначения угла наклона прямой к положительному направлению оси O x в декартовой системе координат введем величину угла α . Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс до прямой линии против хода часовой стрелки. Угол α считается равным нулю в том случае, если линия параллельна оси O x или совпадает с ней.

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона этой прямой. Записывается это следующим образом k = t g α . Для прямой, которая располагается параллельно оси O y или совпадает с ней, записать уравнение прямой с угловым коэффициентом не представляется возможным, так как угловой коэффициент в этом случае превращается в бесконечность (не существует).

Прямая, которая задана уравнением y = k · x + b , проходит через точку 0 , b на оси ординат. Это значит, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , задает на плоскости прямую линию, которая проходит через точку 0 , b и образует угол α с положительным направлением оси O x , причем k = t g α .

Изобразим прямую линию, которая определяется уравнением вида y = 3 · x — 1 .

Эта линия должна пройти через точку ( 0 , — 1 ) . Угол наклона α = a r c t g 3 = π 3 равен 60 градусов к положительному направлению оси O x . Угловой коэффициент равен 3

Обращаем ваше внимание, что с помощью уравнения прямой с угловым коэффициентом очень удобно искать уравнение касательной к графику функции в точке.

Больше материала по теме можно найти в статье «Уравнение прямой с угловым коэффициентом». Помимо теории там размещено большое количество графических примеров и подробный разбор задач.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Данный вид уравнения имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не равны нулю.

Прямая линия, заданная каноническим уравнением прямой, проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Числа a x и a y в знаменателях дробей представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии. Это значит, что каноническое уравнение прямой линии x — x 1 a x = y — y 1 a y в декартовой системе координат O x y соответствует линии, проходящей через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) и имеющей направляющий вектор a → = ( a x , a y ) .

Изобразим в системе координат O x y прямую линию, которая задается уравнением x — 2 3 = y — 3 1 . Точка M 1 ( 2 , 3 ) принадлежит прямой, вектор a → ( 3 , 1 ) является направляющим вектором этой прямой линии.

Каноническое уравнение прямой линии вида x — x 1 a x = y — y 1 a y может быть использовано в случаях, когда a x или a y равно нулю. Наличие ноля в знаменателе делает запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной. Уравнение можно записать следующим образом a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .

В том случае, когда a x = 0 , каноническое уравнение прямой принимает вид x — x 1 0 = y — y 1 a y и задает прямую линию, которая расположена параллельно оси ординат или совпадает с этой осью.

Каноническое уравнение прямой при условии, что a y = 0 , принимает вид x — x 1 a x = y — y 1 0 . Такое уравнение задает прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс или совпадающую с ней.

Больше материала на тему канонического уравнения прямой смотрите здесь. В статье мы приводим целый ряд решений задач, а также многочисленные примеры, которые позволяют лучше овладеть темой.

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Данные уравнения имеют вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не могут быть одновременно равны нулю. В формулу вводится дополнительный параметр λ , который может принимать любые действительные значения.

Назначение параметрического уравнения в том, чтобы установить неявную зависимости между координатами точек прямой линии. Для этого и вводится параметр λ .

Числа x , y представляют собой координаты некоторой точки прямой. Они вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра λ .

Предположим, что λ = 0 .

Тогда x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 , т. е. точка с координатами ( x 1 , y 1 ) принадлежит прямой.

Обращаем ваше внимание на то, что коэффициенты a x и a y при параметре λ в данном виде уравнений представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии.

Рассмотрим параметрические уравнения прямой линии вида x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Прямая, заданная уравнениями, в декартовой системе координат проходит через точку ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Больше информации ищите в статье «Параметрические уравнения прямой на плоскости».

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид , A x + B y + C = 0 , где числа А , В , и C таковы, что длина вектора n → = ( A , B ) равна единице, а C ≤ 0 .

Нормальным вектором линии, заданной нормальным уравнением прямой в прямоугольной системе координат O х у , является вектор n → = ( A , B ) . Эта прямая проходит на расстоянии C от начала координат в направлении вектора n → = ( A , B ) .

Еще одним вариантом записи нормального уравнения прямой линии является cos α · x + cos β · y — p = 0 , где cos α и cos β — это два действительных числа, которые представляют собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины. Это значит, что n → = ( cos α , cos β ) , справедливо равенство n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 , величина p ≥ 0 и равна расстоянию от начала координат до прямой.

Рассмотрим общее уравнение прямой — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 . Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как n → = A 2 + B 2 = — 1 2 2 + 3 2 = 1 и C = — 3 ≤ 0 .

Уравнение задает в декартовой системе координат 0ху прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты — 1 2 , 3 2 . Линия удалена от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .

Обращаем ваше внимание на то, что нормальное уравнение прямой на плоскости позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой A x + B y + C = 0 числа А , В и С таковы, что уравнение A x + B y + C = 0 не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой».

Глава VIII

1. Прямые и плоскости в пространстве R n

Изучим пространство R n с другой точки зрения. Будем рассматривать его элементы не как векторы, а как точки, то есть А(х1, х2, . хn), где хi — координаты точки А ( i = 1, 2, . n). О(0. 0) — назовем началом координат.

Элементы R, R 2 , R 3 можно интерпретировать как координаты точек соответственно на прямой, на плоскости, в пространстве; поэтому R принято называть числовой прямой, R 2 — числовой плоскостью, R 3 — числовым пространством.

Как мы уже знаем, при n>3 непосредственное обращение к геометрии невозможно, но многие факты, относящиеся к R n , носят общий характер, не зависящий от n. Так свойства решений линейных уравнений и методы их исследования не зависят от числа переменных. Тогда можно сказать, что в этом смысле пространство R n обладает геометрическими свойствами, подобными свойствам пространств R, R 2 , R 3 . Множества точек в R 4 (“фигуры”) будем задавать с помощью уравнений, неравенств с n переменными и их систем как области их решений.

Определение 1. Область решений совместной системы линейных уравнений с n переменными ранга r назовем k-мерной плоскостью в R n , где k = n — r (k — число свободных, а r — базисных переменных.)

Отметим два случая:

1. r = n, k = 0. Система имеет единственное решение, которое представляет собой точку в R n , то есть точку можно считать нуль-мерной плоскостью.

2. r = 0, k = n. Все уравнения являются тождествами (0 = 0), все переменные свободные, область решений системы совпадает со всем пространством R n , то есть само пространство можно считать n-мерной плоскостью.

Если этих два крайних случая исключить из рассмотрения, то очевидно, что k может меняться в пределах 1 £ k £ n — 1.

Определение 2. Плоскость наибольшей возможной в R n размерности, но не совпадающей со всем пространством, то есть (n-1)-мерную плоскость, называют гиперплоскостью, а плоскость наименьшей возможной размерности, но не являющуюся точкой, то есть одномерную плоскость, называют прямой.

R — само одномерно и в нем не может быть плоскостей меньшей размерности.

R 2 — (числовая плоскость) — в нем гиперплоскость совпадает с прямой — это одномерная плоскость.

R 3 — (числовое пространство) — здесь гиперплоскостью является двухмерная плоскость, а прямой — одномерная плоскость; других плоскостей нет.

З а м е ч а н и е. При n > 3 кроме гиперплоскостей и прямой существуют плоскости промежуточных размерностей (n-2)-мерные, . трехмерные, двухмерные.

Гиперплоскость обычно задают одним линейным уравнением

в котором не все коэффициенты равны нулю, то есть

. (1.2)

Условие (1.2) равносильно тому, что ранг системы, состоящей из одного уравнения (1.1), равен 1.

Пусть теперь система состоит из двух уравнений

. (1.3)

Если ее матрица А имеет ранг 1, то

В этом случае гиперплоскости, определенные уравнениями системы (1.3), называются параллельными и, если

,

(то есть ранг расширенной матрицы равен 2), то система несовместна:

гиперплоскости, определенные уравнениями системы (1.3), не имеют общих точек (не пересекаются); если же

,

(то есть ранг расширенной матрицы равен 1), то система сводится к одному уравнению, две гиперплоскости совпадают.

И наконец, если ранг матрицы А равен 2, то система определяет (n-2)-мерную плоскость.

Прямую можно задать совместной системой линейных уравнений с n переменными ранга r = n-1. Если известны две точки А(а12. аn), B(b1,b2. bn) прямой, то эту систему можно записать в виде

, (1.4)

где X(x1, x2, . xn) — текущая переменная точка прямой.

Систему уравнений (1.4) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки А и В.

1.1. Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую l в R 2 , заданную уравнением

А × х + В × у + С = 0

и точку М(х11) вне данной прямой.

Обозначим через d расстояние MN (MN перпендикуляр к l). Уравнение перпендикуляра можно записать в виде В × (х — х1) — А × (у — у1) = 0.

или

= t, (1.5)

то есть t — коэффициент пропорциональности. Поэтому из (1.5) следует, что

. ×

C другой стороны, точка N(x2,y2) принадлежит l, следовательно, из (1.5) получаем

Подставим эти значения в уравнение прямой А × х + В × у + С = 0. Получим

А × х2 + В × у2 + С = А × (х1 + А × t) + В × ( y1 + В × t) + С = (А × х1 + В × у1 + C) + t × (А 2 + В 2 ) = 0

.

.

З а м е ч а н и е. (следствие).

(1.6)

является расстоянием от прямой до начала координат.

2. Разделив обе части общего уравнения прямой на , получим уравнение

, (1.7)

свободный член которого численно равен расстоянию прямой от начала координат. Такое уравнение прямой будем называть нормированным.

1.2. Нормированное уравнение прямой

Пусть дана прямая l. Проведем через начало координат прямую n, перпендикулярную l. Пусть Р — точка пересечения прямых. Возьмем единичный вектор .

Выразим уравнение l через два параметра:

и угол q

Пусть М(х,у) принадлежит l. Тогда проекция на ось, определяемую вектором , равна р, то есть при условии прn , так как единичный вектор, то согласно определению скалярного произведения прn ,= . Так как , а вектор , то скалярное произведение имеет вид

.

Следовательно, точка М принадлежит прямой l означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению

. (1.8)

Это и есть нормированное уравнение прямой l.

Пусть теперь имеем общее уравнение прямой l:

l: А × х + В × у + С = 0

l:

t × A = Cos q , t × B = Sin q , t × C = -p.

t 2 × A 2 + t 2 × В 2 = Cos 2 q + Sin 2 q = 1

t 2 × (A 2 + В 2 ) = 1 (1.9)

-нормирующий множитель.

Следовательно, чтобы получить из общего уравнения прямой

А × х + В × у + С = 0

нормированное уравнение (1.8) следует умножить его на нормирующий множитель (1.9), знак которого противоположен С.

2. Общее уравнение плоскости в R 3

Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат Oxyz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени

А × х + В × у + С × z + D = 0, (2.1)

где A, B, C, D — произвольные константы, хотя бы одна из которых не равна 0.

Уравнение (2.1) заведомо имеет хотя бы одно решение (x0, y0, z0).

Действительно, пусть С ¹ 0, следовательно, взяв произвольные (x0, y0), мы получим ,

которое эквивалентно (2.1).

Рассмотрим разность между (2.1) и (2.2).

которое эквивалентно (2.1).

Докажем, что уравнение (2.2) и, стало быть, уравнение (2.1), определяет плоскость (П) в Oxyz.

,

то есть хотя бы одна координата его не равна 0.

Возьмем произвольную точку М0(x, y, z), принадлежащую плоскости П, то есть ее координаты удовлетворяют уравнению (2.3), ибо в этом случае вектор перпендикулярен вектору ( ) и их скалярное произведение

Если точка М(x,y,z) не принадлежит плоскости П, то ее координаты не удовлетворяют (2.3), ибо в этом случае вектор не перпендикулярен вектору и (2.3) не равно нулю.

Таким образом, мы доказали следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если в R 3 фиксирована произвольная декартова система координат Oxyz (прямоугольная), то всякое уравнение первой степени с тремя переменными x,y,z определяет относительно этой системы плоскость.

З а м е ч а н и я.

1. Уравнение (2.1) с произвольными коэффициентами А, В, С (хотя бы один из которых не должен быть равен нулю) называется общим уравнением плоскости в R 3 .

2. Если два общих уравнения

А × х + В × у + С × z + D = 0

определяют одну и ту же плоскость, следовательно, существует число t, такое, что справедливы равенства

Рассмотреть(самостоятельно) неполные уравнения плоскости, когда

1) А = 0; 2) В = 0; 3) C = 0; 4) D = 0;

5) A = В = 0; 6) A = C = 0; 7) B = C = 0;

8) A = В = C = 0; 9) A = C = D = 0; 10) В = C = D = 0;

2.1. Угол между двумя плоскостями

Пусть даны две плоскости П1 и П2, которые заданы уравнениями

Чтобы определить угол между плоскостями, достаточно определить угол j между их нормальными векторами и .

По определению скалярного произведения

. (2.5)

Условие параллельности двух плоскостей заключается в пропорциональности координат векторов и :

. (2.6)

Условие “плоскость П1 перпендикулярна к плоскости П2” определяет, что Cos j = 0

2.2. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой

Пусть даны три точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) и М3(x3,y3,z3). Необходимо вывести уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Так как эти три точки не лежат на одной прямой, то векторы и неколлинеарны, и поэтому точка М(x,y,z) лежит в одной плоскости с точками М1, М2 и М3 в том случае, если векторы , и компланарны.

Теорема 2.2. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие

(2.8)

Из условия (2.8) получим уравнение первой степени относительно x,y,z. Оно и является уравнением искомой плоскости.

2.3. Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости

Пусть дана плоскость П. Проведем через начало координат прямую n перпендикуляр к плоскости П, и пусть Р — точка пересечения прямой n и плоскости П.

Рассмотрим вектор и — единичный вектор. . Пусть углы a , b , g образованы с положительными направлениями осей и вектором . Тогда . Очевидно, что точка М(x,y,z) принадлежит плоскости П тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую вектором , равна р.

прn = р = .

Так как , то скалярное произведение равно р

(2.9)

Определение 2.1. Назовем отклонением d точки М от плоскости П число +d в случае, когда точка М и начало координат точка О лежат по разные стороны от плоскости П, и число -d — в случае, когда точка М и начало координат точка О лежат по одну сторону от плоскости П, (куда направлен вектор — “+d” и “-d” — в противоположном расположении точки М, если точка О лежит на плоскости).

Для нахождения отклонения d точки М0(x0,y0,z0) от плоскости П следует в левую часть нормированного уравнения плоскости П поставить на место х,у,z координаты x0,y0,z0 точки М.

А × х + В × у + С × z + D = 0

определяют одну ту же плоскость, то существует t такое, что

t × A = Cos a , t × B = Sin b , t × C = Sin g , t × D = -p.

Так как сумма квадратов направляющих косинусов равна 1, то

t 2 × (A 2 + B 2 + C 2 )=1,

, (2.10)

где знак t противоположен знаку коэффициента D.

Для приведения общего уравнения плоскости

А × х + В × у + С × z + D = 0

к нормированному виду (2.9) следует умножить его на нормирующий множитель (2.10), знак которого противоположен знаку коэффициента D.

3. Прямая линия R 3

Прямую в пространстве R 3 можно задать как пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями

(3.1)

Приведем (3.1) к каноническому виду.

Для этого достаточно найти:

1) хотя бы одну точку М1(x1,y1,z1), через которую проходит прямая

Так как плоскости, определяемые (3.1), не параллельны и не сливаются, то нарушается (2.6), то есть хотя бы одна из пропорций

,

а это значит, что хотя бы один из определителей второго порядка

, ,

отличен от нуля.

.

Тогда, взяв вместо z произвольное число z1 и подставив его в уравнение (3.1), можно определить соответственно x1 и y1

(3.2)

Можно взять z1=0. Тогда, воспользовавшись (3.2), получим, что прямая проходит через точку .

Пусть текущая точка М(x,y,z). Тогда уравнение линии можно записать в виде

. (3.3)

. (3.4)

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(x1,y1,z1) и перпендикулярной плоскости А × х + В × у + С × z + D = 0, имеет вид

. (3.5)

Уравнение прямой, параллельной данной плоскости и проходящей через данную точку М0(x0,y0,z0).

Пусть плоскость П задана уравнением

Тогда уравнение прямой имеет вид

4. Выпуклые множества точек на плоскости. Неравенства

4.1. Неравенства

Пусть задана линия

то есть это множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Аналогично можно рассмотреть множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

(х — a) 2 + (у — b) 2 — r 2 = 0

Это уравнение определяет окружность с центром в точке С(a,b) радиуса r, (Рис. 8.4);

(х — a) 2 + (х — b) 2 — r 2 0

определяет множество точек, лежащих внутри круга с центром в точке С(a,b) радиуса r, (Рис. 8.5);

(х — a) 2 + (х — b) 2 — r 2 > 0

определяет множество точек, лежащих вне этого круга с центром в точке С(a,b) радиуса r (Рис. 8.6);

Множество точек, удовлетворяющих (4.1), называют областью решений этого уравнения.

Аналогично будем говорить об области решений неравенств (4.2) и (4.3).

Пусть теперь F(x, y) — линейное уравнение, то есть имеет вид

F(x, y) = A × x + B × y + C, (4.4)

где A, B, C — константы .

Любое невырожденное уравнение A × x + B × y + C = 0 определяет линию L в R 2 , рассмотрим

A × x + B × y + C 0 (4.5)

A × x + B × y + C > 0, (4.6)

По отношению к прямой линии все точки разбились на два множества Ф1 и Ф2, лежащие по разные стороны от прямой L (Рис 8.7).

Покажем, что эти множества определяются неравенствами (4.5) и (4.6).

Так как эти точки не лежат на прямой, то имеем

Действительно, так как точки М111), М222) лежат по разные стороны от прямой (4.4), то существует точка М000) такая, что она делит отрезок М1М2 в отношении , а сама точка М000) принадлежит прямой L, то есть

, . (4.7)

Так как точка М000) принадлежит прямой L, то имеем

Подставим (4.7) в (4.4):

.

то есть d 1+ l × d 2 = 0, откуда d 1 = -l × d 2 , но l > 0, следовательно, d 1 и d 2 имеют разные знаки.

Пусть, например, d 1 0, d 2 > 0, тогда точка М111) удовлетворяет неравенству (4.5), а точка М222) — неравенству (4.6).

Множество точек, лежащих на некоторой прямой и по одну сторону от нее, называют полуплоскостью.

Очевидно, что каждая прямая L разбивает плоскость П на две полуплоскости, для которых она является общей границей. Считается, что граница принадлежит сразу двум полуплоскостям.

Если (4.4) — это граница, то нестрогие неравенства

A × x + B × y + C £ 0

A × x + B × y + C ³ 0

Пусть задана система неравенств

(4.8)

Геометрически система (4.8) может быть истолкована как область решений этой системы, то есть это множество точек , которые одновременно удовлетворяют всем неравенствам этой системы, то есть . Очевидно, что область решений системы неравенств является пересечением областей решений каждого из неравенств системы.

З а м е ч а н и е. В частности может иметь место .

Областью решений системы линейных неравенств

(4.9)

является очевидно пересечение полуплоскостей, определяемых каждым из неравенств.

Эту область будем называть многоугольником.

Не исключены также случаи вырождения многоугольной области в прямую или луч, а многоугольника — в отрезок или точку.

4.2. Выпуклые множества точек на плоскости

Определение 4.1. Множество точек называется выпуклым, если вместе с двумя его точками М1 и М2 ему принадлежат и все внутренние точки отрезка М1М2.

Выпуклые множества: полуплоскость, круг, отрезок и так далее.

Многоугольники могут быть как выпуклые, так и невыпуклые. Геометрически это можно всегда увидеть, но этот факт также может быть

установлен и аналитически.

Теорема 4.1. Пусть дана полуплоскость

Ф1: A × x + B × y + C 0

Если А × х0 + В × у0 + С 0, то тогда полуплоскость будет выпуклой.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Координаты точки М1 можно выразить через координаты точек М1 и М2:

, ,

Подставим эти выражения в неравенство полуплоскости

.

l > 0, и по условию

а по определению 8.4 такое множество называется выпуклым.

З а м е ч а н и е. Определение выпуклого множества сформулировано в предположении, что в этом множестве имеются по крайней мере две точки. Если множество пустое (в этом случае его обозначают как Æ ) или состоит из одной точки, то его тоже считают выпуклым.

Для выпуклых множеств имеет место следующая теорема:

Теорема 4.2. Пересечение любого числа выпуклых множеств — выпуклое множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Пусть j 1, j 2, . j n — выпуклые множества и их пересечение , тогда оно выпукло. Из того, что точка М000) принадлежит множеству j i (i = 1. n) следует, что М000) принадлежит .

Пусть имеем две произвольные точки М111) и М222), принадлежащие пересечению множеств j i, тогда, так как все множества j i выпуклы, то им принадлежит и отрезок М1М2, а следовательно, , но тогда и пересечение есть множество выпуклое.

Следствие. Область решений системы линейных неравенств (), если она не представляет собой Æ , является выпуклой многоугольной областью или выпуклым многоугольником.

5. Выпуклые множества в пространстве. Неравенства

По аналогии с пространством R 2 можно рассмотреть геометрию и неравенства в пространстве R 3 .

определяют множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют этим неравенствам.

(х — a) 2 + (х — b) 2 + (z — c) 2 2

определяет внутреннюю область шара, ограниченную сферой

(х — a) 2 + (х — b) 2 + (z — c) 2 = r 2

с центром в точке С(а,b,c) и радиусом r, а неравенство

(х — a) 2 + (х — b) 2 + (z — c) 2 > r 2

определяет множество точек, находящихся вне этого шара.

Множество точек, лежащих в некоторой плоскости и по одну сторону от нее, называют полупространством.

5.1. Нестрогие линейные неравенства

D + A × x + B × y + C × z и

D + A × x + B × y + C × z > 0

определяют два полупространства, общей границей которых будет плоскость

D + A × x + B × y + C × z = 0.

Доказательство этого факта проводится так же, как и в случае двух переменных.

Пусть дана система линейных неравенств с тремя неизвестными

. (5.3)

Областью решений системы (5.3) является пересечение полупространств, то есть такое множество точек, если оно не пусто, которое является решением каждого из неравенств системы. Это пересечение полупространств называют многогранной областью или (в случае ограниченности) многогранником.

З а м е ч а н и е.

1. Понятие выпуклого множества точек и теорема о выпуклости пересечения выпуклых множеств точек сохраняет силу и для пространства.

(Провести доказательство самостоятельно).

2. Так как полупространство выпукло, то область решений системы линейных неравенств (5.3), если она не пуста, является выпуклой многогранной областью (или выпуклым многогранником), если она ограничена.

Не исключены случаи вырождения.

Назад Далее

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x+y= 1
ab

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x — x 1=y — y 1
x 2 — x 1y 2 — y 1

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x 0 y = m t + y 0

где N( x 0, y 0) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >— координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0=y — y 0
lm

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M y — N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x 1=y — y 1=z — z 1
x 2 — x 1y 2 — y 1z 2 — z 1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x 0
y = m t + y 0
z = n t + z 0

где ( x 0, y 0, z 0) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0=y — y 0=z — z 0
lmn

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений


источники:

http://ef.donnu-support.ru/pvd141048/Data/MdE/ModBM/0A18.htm

http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/line/